Tài liệu "Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp, từ đó hiểu được bản chất, dấu hiệu của một tứ giác nội tiếp để giải các bài tập nâng cao kiến thức bản thân. Mời các em cùng tham khảo chi tiết tài liệu tại đây. | MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần và đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện bằng 1800 . A D B C x Điều kiện để tứ giác lồi ABCD nội tiếp là A C 1800 hoặc B D 1800 Hệ quả Tứ giác ABCD nội tiếp được BAD DCx Một số ví dụ Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD của góc HAC . Phân giác trong góc ABC cắt AH AD lần lượt tại M N . Chứng minh rằng BND 900 . Phân tích và hướng dẫn giải A Ta có MHD 90 . Nếu MND 90 0 0 thì tứ giác MHDN nội tiếp. Vì vậy N M thay vì trực tiếp chỉ ra góc BND 900 ta sẽ đi chứng minh B H C D tứ giác MHDN nội tiếp. Tức là ta chứng minh AMN ADH . Thật vậy ta có AMN BMH 900 MBH NDH 900 HAD mà 1 1 MBH ABC HAD HAC và ABC HAC do cùng phụ với góc BCA từ 2 2 đó suy ra AMN ADH hay tứ giác MHDN nội tiếp MND MHD 900 Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O có trực tâm là điểm H . Gọi M là điểm trên dây cung BC không chứa điểm A M khác B C . Gọi N P theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB AC a Chứng minh AHCP là tứ giác nội tiếp b N H P thẳng hàng. c Tìm vị trí của điểm M để độ dài đoạn NP lớn nhất. Phân tích và hướng dẫn giải A P I O H N B C K M a . Giả sử các đường cao của tam giác là AK CI . Để chứng minh AHCP là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh AHC APC 1800 .Mặt khác ta có AHC IHK đối đỉnh APC AMC ABC do tính đối xứng và góc nội tiếp cùng chắn một cung . Như vậy ta chỉ cần chứng minh ABC IHK 1800 nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp. b . Để chứng minh N H P thẳng hàng ta sẽ chứng minh NHA AHP 1800 do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp. Thật vậy ta có AHP ACP tính chất góc nội tiếp ACP ACM 1 Tính chất đối xứng . Ta thấy vai trò tứ giác AHCP giống với AHBN nên ta cũng dễ chứng minh được AHBN là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra AHN ABN mặt khác ABN ABM 2 Tính chất đối xứng . .
