Bài giảng chuyên đề "Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức" được biên soạn bởi ThS. Phạm Văn Qúy có mục đích giúp các em học sinh nắm được một số bất đẳng thức phụ thường dùng, làm quen với các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức. Vận dụng kiến thức được học để giải các bài toán thực tế. Mời các em cùng tham khảo. | Chuyên đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN PHẠM VĂN QUÝ 1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1 a 2 b 2 c 2 ab bc ca a b c R . an bn a b n 10 với a b 0 n N . 2 2 a b 2 2 a b 0 2 a b c 2 11 a b c 2 2 2 a b R . 3 a b c 3 3 a b 0 12 a b c 3 ab bc ca a b R 2 3 1 1 13 a3 b3 ab a b a b 0 4 a b 4 a b gt 0 a b 14 a 4 b 4 ab a 2 b 2 a b 0 1 1 4 5 a b gt 0 15 a5 b5 a2b2 a b a b 0 a b a b 3 a b 2 1 1 1 6 a b c 9 a b c gt 0 16 a ab b 2 2 a b R a b c 4 1 1 1 9 a 2 ab b2 1 7 a b gt 0 17 a b R a 2 b2 0 a b c a b c a ab b 2 2 3 2 a2 b2 a b 18 1 a 1 b 1 ab a b 0 2 8 a b R. 2 2 3 19 1 a 1 b 1 c 1 3 abc a b c 0 a 3 b3 a b 3 9 với a b 0 . 2 2 1 1 2 20 với ab 1. 1 a 1 b 1 ab 2 2 2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 xz x 2 3 x y z Giải 3 a b 2 Ta luôn có bất đẳng thức a ab b 2 2 a b . 4 Giáo viên Phạm Văn Quý Tell Chuyên đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật vậy 4a 2 4ab 4b 2 3 a 2 2ab b 2 a 2 2ab b 2 0 a b 0 luôn đúng . 2 Dấu xảy ra a b. 3 x y 2 3 Áp dụng ta có x xy y 2 2 x y 4 2 3 3 Tương tự ta có y 2 yz z 2 y z và z 2 zx x 2 z x 2 2 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có 3 x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 xz x 2 2x 2 y 2z 3 x y z đpcm 2 x y Dấu xảy ra y z x y z. z x 1 2 3 Bài 2. Cho a b c 0 thỏa 1 . Chứng minh rằng a b c b 2 2ab 4a 2 4c 2 6bc 9b 2 9a 2 3ac c 2 3 ab bc ca Giải b 2 2ab 4a 2 4c 2 6bc 9b 2 9a 2 3ac c 2 Ta có VT a 2b 2 b 2c 2 c2a2 1 2 4 4 6 9 9 3 1 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ac a 1 2 3 Đặt x y z x y z 0. Ta có VT x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 xz x 2 a b c Theo bài 1 ta có x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 xz x 2 3 x y z 1 2 3 Mặt khác 3 x y z 3 3. Do đó VT 3 VP đpcm . a b c 1 2 3 a 3 x y z a b c 1 2 3 1 Dấu xảy ra 1 2 3 b 6. a b c 1 1 2 3 1 a b c 3 c 9 a b c Giáo viên Phạm Văn Quý Tell Chuyên đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức
