Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 tài liệu "Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức" sẽ cung cấp tới người học về đáp số và hướng dẫn giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức. Thông qua việc tham khảo và luyện tập giải bài, các em học sinh sẽ nắm vững nội dung bài học và có phương pháp học tập hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo. | 2. BÀI TOÁN TÌM HẰNG SỐ TỐT NHẤT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 85 Chương 1 Các bất đẳng thức cổ điển 1. Bất đẳng thức AM-GM Câu . a Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với s s abc 3 3 1. 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Đặt s s abc T 3 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 a b c T 3 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 T .3 1 3 1 a 1 b 1 c 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 0. b Ta có a b c 1 1 1 b c a a b c a c b 2 b c a c b a a b b c c a 1 1 1 1 c a b 1 1 1 a b c 1 a b c 3 a b c 2 a b c 3 1 3 2. abc abc Câu . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1 a2 an r 1 p n 1. 1 n 1 a1 1 a2 1 an 1 a1 1 a2 1 an Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1 1X 1 1 X ai V T 1 1. n i 1 1 ai n i 1 1 ai 86 1. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Bài toán được chứng minh. 3 a b c 1 Câu . Ta có abc . 3 27 Khi đó 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 64. a b c abc Suy ra 1 a 1 b 1 c 64abc. Câu . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với s b1 b2 bn r a a 1 2 a n n n 1. 1 a1 b1 a2 b2 an bn a1 b1 a2 b2 an bn Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có r a 1 a 2 a n 1 a 1 a n n a1 b1 a2 b2 an bn n a1 b1 an bn s b1 b2 bn 1 b1 bn n a1 b1 a2 b2 an bn n a1 b1 an bn Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm. n P Câu . Vì αi là các số hữu tỉ dương và αi 1 nên tồn tại các số nguyên dương N k1 k2 kn i 1 ki sao cho αi . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho N số ta có N a1 a1 a1 an an an k1 kn n z z k1 số kn số a1n ann aα1 1 aαnn . X αi ai i 1 N Bất đẳng thức được chứng minh. Câu . Chuẩn hóa a1 a2 an n ta cần chứng minh ak1 ak2 akn n. 1 Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho k số gồm k 1 số 1 và aki ta có n X n X n X aki k 1 kai aki n k 1 k ai kn aki n. i 1 i 1 i 1 Vậy 1 đúng hay bài toán được chứng minh. 1 1 4 Câu . Áp dụng bất đẳng thức ta có x y x y 1 1 4 2 a 3b b 2c a a 3b b 2c a a 2b c 1 1 2 b 3c 2a b c a b 2c 1 1 2 . c 3a a 2b c 2a b c Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm. 87 1. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Câu . Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số ta có 4 8 4 4 1 1 2 4 a b 2 ab 4 a b 16
