Tài liệu "Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác" được biên soạn bởi Ths. Hoàng Minh Quân (giáo viên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội), trình bày vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết tài liệu tại đây. | NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội Trong chương trình toán THPT để chứng minh một số hệ thức lượng giác ta thường sử dụng các biến đổi lượng giác. Câu hỏi đặt ra ngoài các cách biến đổi lượng giác thì ta có cách tiếp cận nào khác để giải quyết vấn đề không Để trả lời câu hỏi này bài viết sau đây mời bạn đọc cùng đến với hướng tiếp cận hình học cho chứng minh một số hệ thức lượng giác. I. CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1. Chứng minh rằng với x y ta có sin x y sin x cos y cos x sin y. Chứng minh 1. Gọi z là góc thỏa mãn x y z . Ta có x y z là ba góc của một tam giác. Không mất tổng quát giả sử tam giác đó nội tiếp đường tròn bán kính 1 r . 2 c 1 Ta có sin z c tương tự sin x a sin y b . 2 2 Từ công thức c a cos y b cos x ta có sin z sin x cos y cos x sin y sin x y sin x cos y cos x sin y. Chứng minh 2. Vẽ tam giác ABC với H là chân đường cao hạ từ đỉnh A lên cạnh BC. Đặt BAH x CAH y và AB a AC b AH h. Ta có S ABC S ABH S ACH 1 1 1 ab sin x y ah sin x bh sin y 2 2 2 1 1 1 ab sin x y ab cos x ba cos y 2 2 2 sin x y sin x cos y cos x sin y. https groups NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Chứng minh 3. Vẽ tam giác ABC với D là chân đường cao hạ từ đỉnh A E là chân đường cao hạ từ đỉnh C x BAC ABC y . Khi đó ACD x y . CE. AB CE. AE EB Ta có CE. AB AD . BC BC AD CE. AE EB AE CE CE EB Mặt khác lại có sin x y sin ACD . . AC AC BC AC BC hay sin x y cos x sin y sin x cos y. Bài 2. Chứng minh rằng với x y 0 và x y ta có 2 sin x y sin x cos y cos x sin y. Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm thuộc cạnh AC sao cho ABC x ABD y. Đặt BC a BD b . Ta có AB b cos y a cos x AD a sin x b sin y . 1 1 Mặt khác ta có S BCD S ABC S ABD AB. AC AB. AD 2 2 x y AB. AC AB. AD x y b cos sin x a cos sin y sin x y cos x cos .
