Bài giảng "Phương pháp số: Chương 1 - Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy" được biên soạn bao gồm các nội dung chính sau: Các bài toán về đa thức nội suy; Sai số của đa thức nội suy; Tối ưu hóa mốc nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây. | XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY Hà Thị Ngọc Yến Hà nội 9 2020 ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm xi yi f xi i 0 n xi x j i j xi a b - Đa thức bậc không quá n Pn x đi qua bộ điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các mốc nội suy xi i 0 n - Khi đó f x Pn x ĐA THỨC NỘI SUY Định lý Với bộ điểm xi yi i 0 n xi x j i j cho trước đa thức nội suy tồn tại và duy nhất ĐA THỨC NỘI SUY Pn x a0 a1x a2 x 2 an x n ao a1x0 a2 x02 an x0n y0 ao a1x1 a2 x12 an x1n y1 Pn xi yi i 0 n a o 1 n a x a x 2 n 2 an n yn x n ĐA THỨC NỘI SUY Định thức n 1 x0 x0 n 1 x1 x1 xi x j 0. i j 1 xn xnn Vậy hệ có nghiệm duy nhất hay đa thức nội suy tồn tại và duy nhất SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY Đặt F t Rn t kwn 1 t Chọn k sao cho F x f x Pn x kwn 1 x 0 F t có ít nhất n 2 nghiệm phân biệt nên F x có ít nhất n 1 nghiệm phân biệt . SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY a b F n 1 0 n 1 k f n 1 n 1 Rn x f w x n 1 n 1 Ví dụ 1 Xấp xỉ hàm f x 25 x 1 2 Với 5 mốc nội suy Ví dụ Với 10 và 17 mốc nội suy Tối ưu hóa mốc nội suy Bài toán Chọn mốc nội suy sao cho sai số xấp xỉ hàm đạt được nhỏ nhất f Pn sup Rn x a b M n 1 R x wn 1 x n 1 f Pn min wn 1 x min Tối ưu mốc nội suy Xét khoảng nội suy -1 1 Xét họ các hàm đa thức Chebysev Tn x cos x Tn 1 x 2 xTn x Tn 1 x T0 x 1 T1 x x T2 x 2 x 1 Tn x 2 2 n 1 n x Tối ưu mốc nội suy Định lý trong các đa thức bậc n có hệ số cả 1 bằng 1 đa thức T n 1 n x là đa thức có độ 2 lệch so với 0 nhỏ nhất tức là p x x n an 1x n 1 a0 Tn x max p x max 1 1 1 1 2n 1 Tối ưu mốc nội suy Chọn mốc nội suy là n 1 các nghiệm của Tn x i xi cos i 0 n. n Trường hợp khoảng nội suy a b đặt ẩn 2x b a t b a
