Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các định lý giới hạn; Lý thuyết mẫu; Bài toán ước lượng tham số; Bài toán kiểm định giả thuyết. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chƣơng 5 CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN . ĐỊNH NGHĨA. Dãy các ĐLNN Xn đƣợc gọi là hội tụ theo xác suất tới ĐLNN X nếu với gt 0 lim P X n X 1. Khi đó n ta ký hiệu Xn P X . . BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƢ-SÉP. Cho ĐLNN X có kỳ vọng E X và phƣơng sai D X đều hữu hạn. Khi đó với mọi gt 0 ta có P X E X 1 2 hay P X E X 2 D X D X 1 Các bất đẳng thức 1 đƣợc gọi là các bất đẳng thức Trê-bư-sép. Chứng minh Giả sử X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ phân phối f t . Theo tính chất hàm mật độ ta có E X P X E X P E X X E X f t dt E X E X 1 f t dt f t dt . 2 E X t E X 2 Mặt khác t E X t E X 1 2 2 2 t E X 2 f t . f t vì f t 0 . 2 E X Vì f t 0 nên f t dt E X f t dt f t dt E X t E X 2 1 f t dt f t dt f t dt 2 t E X f t dt 2 E X 2 E X 1 f t dt E X f t dt 2 .D X 3 78 Từ 2 và 3 suy ra P X E X 1 D X . 2 Về mặt thực tế bất đẳng thức Trê-bƣ-sép chỉ cho phép đánh giá cận trên hoặc cận dƣới xác suất để ĐLNN X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng của nó lớn hơn hoặc bé thua . Đôi khi sự đánh giá đó là hiển nhiên và không có ý nghĩa. Chẳng hạn nếu D X 2 thì bất đẳng thức là hiển nhiên đúng. Song nó lại có ƣu điểm là áp dụng đƣợc đối với mọi ĐLNN mà không cần biết quy luật phân phối xác suất của nó. Ví dụ 1. Thu nhập trung bình hàng năm của dân cƣ một vùng là 700 USD và độ lệch chuẩn là 120 USD. Hãy xác định một khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình của ít nhất 95 dân cƣ vùng đó. Giải. Gọi X là thu nhập hàng năm của dân cƣ vùng đó thì X là ĐLNN với quy luật phân phối xác suất chƣa biết song có kỳ vọng toán E X 700 và độ lệch chuẩn D X 120. Do đó theo bất đẳng thức Trê-bƣ-sép ta có P X 700 1 130 0 95 536 656 2 Vậy ít nhất 95 dân cƣ vùng đó có thu nhập hàng năm nằm trong khoảng 700 536 656 700 536 656 tức là khoảng 163 344 1236 656 . . ĐỊNH LÝ TRÊ-BƢ-SÉP . Định lý. Giả sử X1 X2 . Xn là dãy các ĐLNN độc lập từng đôi một có kỳ vọng E Xi đều hữu hạn i 1 n và phƣơng sai D Xi bị chặn trên bởi hằng số C nghĩa là D Xi C C là hằng số i 1 n . Khi đó gt 0 ta có 1 n 1 n lim P Xi E Xi 1 . n n i 1
