"Bài giảng Giải tích 3: Bài 2 - Chuỗi số dương" được biên soạn với các nội dung chính sau đây: Chuỗi số dương; Tiêu chuẩn tích phân; Tiêu chuẩn so sánh; Cùng một số ví dụ áp dụng; . Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng! | GTIII Chuỗi và Phương trình vi phân 2 Chuỗi số dương . Tiêu chuẩn tích phân Viện Toán ứng dụng và Tin học Đại học Bách Khoa Hà Nội Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Chúng ta bắt đầu với chuỗi nghịch đảo bình phương các số tự nhiên Trên hình vẽ dưới chúng ta có thể thấy đường cong y 1 x2 và các hình chữ nhật đều nằm dưới đường cong này. Tiêu chuẩn tích phân Chiều rộng các hình chữ nhật là 1 chiều cao là giá trị hàm y 1 x2 do đó tổng diện tích các hình chững nhật là Nếu ta bỏ qua hình chữ nhật đầu tổng diện tích các hình chữ nhật còn lại nhỏ hơn diện tích phía dưới đường cong y 1 x2 với x 1 là giá trị của tích phân Tích phân suy rộng này hội tụ và có giá trị 1. Nghĩa là các tổng riêng đều có giá trị nhỏ hơn Mặt khác do tất cả các số hạng đều dương nên dãy tổng riêng là dãy tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Nghĩa là chuỗi là hội tụ và có tổng bé hơn 2. Tiêu chuẩn tích phân Tương tự chúng ta sử dụng hình vẽ sau nhưng trong trường hợp này các hình chữ nhật đều vượt lên trên đường cong Chiều rộng các hình chững nhật là 1. Chiều cao bằng giá trị của hàm Tiêu chuẩn tích phân Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật là Tổng diện tích này lớn hơn diện tích phía dưới đường cong với x 1 là giá trị của tích phân Nhưng tích phân suy rộng này là phân kỳ. Nói cách khác diện tích dưới đường cong là vô hạn. Nghĩa là tổng chuỗi là vô hạn nghĩa là chuỗi là phân kỳ. Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ Xét tính hội tụ của chuỗi Lời giải Hàm f x 1 x2 1 liên tục dương giảm trên 1 nên ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân Nghĩa là 1 x2 1 dx hội tụ do đó theo tiêu chuẩn tích phân chuỗi 1 n2 1 hội tụ. Tiêu chuẩn tích phân Chuỗi hội tụ khi p gt 1 và phân kỳ khi p 1. Ví dụ chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ Ví dụ Xét tính hội tụ của chuỗi Lời giải Hàm f x ln x x dương liên tục với x gt 1 do hàm loga là dương và liên tục. Mặt khác Do đó f x 1 nghĩa là x gt e. Từ đó ta có f là hàm giảm khi x gt e. Do đó ta có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân. Do tích phân suy rộng là phân kỳ nên chuỗi ln n n là phân kỳ theo .
