Bài giảng Toán cao cấp cung cấp cho người đọc những kiến thức như: giới hạn-tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến; hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo! | NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 1 0 QUỐC TIẾN CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 . Số L được gọi là giới hạn của hàm số f x khi x dần đến x0 nếu 0 0 x D 0 x x0 f x L và được kí hiệu lim f x L hay f x L khi x x0 . x x0 Giới hạn của hàm số f x khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau lim f x L xn xn x0 f xn L x x0 Định lí Cho f x u x v x xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 . Nếu u x f x v x với mọi x thuộc lân cận đó và lim u x lim v x L thì x x0 x x0 lim f x L x x0 1 sin x Ví dụ. Chứng minh lim x 0 x Thật vậy x 0 x ta có bất đẳng thức cos x 1 mà lim cos x 1 suy ra sin x 2 x x 0 1 sin x lim x 0 x Một số tính chất của giới hạn hàm số i Nếu lim f x L thì giới hạn đó là duy nhất x x0 ii lim C C C hằng số x x0 iii Nếu f x g x x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực thì lim f x lim g x nếu các giới hạn này tồn tại . x x0 x x0 1 QUỐC TIẾN iv Nếu f x g x h x x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực và lim f x L lim h x thì lim g x L x x0 x x0 x x 0 v Giả sử các hàm số f x g x có giới hạn khi x x0 khi đó ta có các kết quả sau lim f x g x lim f x lim g x x x0 x x0 x x0 lim kf x k lim f x x xo x xo lim f x . g x lim f x . lim g x x xo x xo x xo 0 lim g x 0 f x xlim x f x lim x x0 g x lim g x x x0 x x0 Vô cùng bé Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình chẳng hạn khi x xo . Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác Định nghĩa Hàm x được gọi là một vô cùng bé VCB trong quá trình x xo nếu lim x 0 x x0 x 1 Ví dụ. sin x tgx 1 cos x là những VCB khi x 0 còn là VCB khi x x2 2 So sánh hai VCB Cho x và x là hai VCB trong một quá trình nào đó chẳng hạn khi x xo . Khi đó tốc độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng. Cụ thể ta có các định nghĩa x 0 thì ta nói x là VCB bậc cao hơn VCB x trong quá