Bài giảng Toán cao cấp A1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến; lý thuyết chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo! | Toán cao cấp A1 Chương 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC . Các định nghĩa Định nghĩa 1. Một hàm số f đi từ tập các số nguyên dương vào tập số thực f theo đó với mỗi số nguyên dương n cho tương ứng với duy nhất một số thực xn . Mỗi hàm số như vậy được gọi là một dãy số thực và được biểu diễn như sau x1 x2 . xn . viết gọn là xn . Số xn được gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1. Cho một hàm số f được xác định như sau f n xn 1 3n . Ta có x1 4 x2 7 x3 10 x4 13 . Khi đó ta có dãy số 4 7 10 13 . 1 3n . Số hạng tổng quát xn 1 3n . Định nghĩa 2. Dãy xn được gọi là hội tụ về số thực a nếu 0 N N sao cho n N thì xn a . Và khi đó a được gọi là giới hạn của dãy số xn kí hiệu lim xn a hay xn a khi n . n Ví dụ minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017. 1 1 1 1 1 2018 2017 2017 2017 2017 . 2017 . 2 3 4 5 n 1 1 có xn 2017 xn 2017 . Ta cần chứng minh n n 1 0 N N sao cho n N thì xn 2017 n 1 1 Thật vậy với mọi cho trước ta chọn N là phần nguyên của khi đó 1 1 n N n đpcm . n 2n Ví dụ 3. Chứng minh rằng lim 0. n n 1 2 1 Toán cao cấp A1 2n cần chứng minh 0 N N sao cho n N thì . Nhận n 1 2 2n 2n 2 2 2 2 thấy rằng để n vậy với mọi cho trước ta chọn N n2 1 n2 n n 2 2 2n khi đó n N n 2 đpcm . n n 1 Định nghĩa 3. Giới hạn tại vô cực lim xn E 0 N E sao cho n N E thì xn E . n lim xn E 0 N E sao cho n N E thì xn E . n Ví dụ 4. Chứng minh rằng lim a n a 1 . n cần chứng minh E 0 N E sao cho n N E thì a n E . Nhận thấy rằng ln E để a n E ln a n ln E n ln a ln E n . Vậy E 0 ta chọn ln a ln E ln E N E khi đó n N E thì n a n E đpcm . ln a ln a Định nghĩa 4. Dãy xn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực a sao cho xi a xi xn . Dãy xn được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực a sao cho xi a xi xn . Dãy xn được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới nghĩa là nếu tồn tại số thực a sao cho xi a xi xn . . Các định lí về giới hạn của dãy số chuẩn hội tụ 1 Nếu yn xn zn n n0 với n0 là số tự nhiên lớn hơn 0 bất
