Bài giảng Vi tích phân 1B: Sơ lược về chuỗi fourier, cung cấp cho người học những kiến thức như định nghĩa chuỗi Fourier; Sự hội tụ của chuỗi Fourier; Khai triển chuỗi Fourier của hàm số xác định trên [0, π]; Khai triển chuỗi Fourier của hàm số xác định đoạn [a, b]. Mời các bạn cùng tham khảo! | SƠ LƯỢC VỀ CHUỖI FOURIER Ta đã biết về việc một hàm số dưới điều kiện nào đó có thể được khai triển thành một chuỗi lũy thừa tức là chuỗi Taylor. Trong chương này chúng ta tìm hiểu một kiểu khai triển khác khai triển thành chuỗi các hàm sin và cos. Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Định nghĩa chuỗi Fourier Sự hội tụ của chuỗi Fourier Khai triển chuỗi Fourier của hàm số xác định trên 0 π Khai triển chuỗi Fourier của hàm số xác định đoạn a b VI TÍCH PHÂN 1B 299 320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Định nghĩa chuỗi Fourier Định nghĩa chuỗi Fourier Xét f là hàm số khả tích trên đoạn π π . Đặt π 1 ak f x cos kxdx k 0 1 2 3 . . . 22 π π π 1 bk f x sin kxdx k 1 2 3 . . . 23 π π Chuỗi a0 ak cos kx bk sin kx được gọi là chuỗi Fourier 2 k 1 cũng được gọi là chuỗi lượng giác của hàm số f và ta viết a0 f x ak cos kx bk sin kx 24 2 k 1 Các hệ số ak bk được tính theo công thức 22 23 được gọi là các hệ số Fourier của hàm số f . VI TÍCH PHÂN 1B 300 320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Sự hội tụ của chuỗi Fourier Cũng như chuỗi Taylor quan hệ 24 không nói lên điều gì về sự hội tụ của chuỗi Fourier. Hơn nữa cho dù chuỗi Fourier của f có hội tụ thì tổng của chuỗi này cũng chưa hẳn đã bằng f x . Ta có kết quả sau VI TÍCH PHÂN 1B 301 320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Sự hội tụ của chuỗi Fourier Định lý 1 Dirichlet Nếu hàm số f đơn điệu từng khúc trên đoạn π π bị chặn trên đoạn đó nghĩa là x π π f x M M là hằng số độc lập với x thì chuỗi Fourier của f hội tụ tại từng điểm x π π và tổng của chuỗi này bằng i f x nếu f liên tục tại x π lt x lt π. 1 ii f x f x nếu x là điểm gián đoạn kiểu bước nhảy 2 của f π lt x lt π. 1 iii f π f π nếu x π. 2 Nhắc lại. x là điểm gián đoạn kiểu bước nhảy nghĩa là tồn tại f x và f x nhưng f x f x . VI TÍCH PHÂN 1B 302 320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Sự hội tụ của chuỗi Fourier .
