Phương trình hàm nâng cao P3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Tài liệu rất có ích trong việc luyện thi quốc gia, thi học sinh giỏi, chuẩn bị kiến thức cho các kỳ thi sắp tới | CD c abp p - cc coC Trong đó p a b c là nửa chu vi. a b a b 2 2 Tam giác CAB xác định một điểm M xác định trên đường thẳng AB ta luôn tính được độ dài CM theo cách tương tự. Điều này khiến ta liên hệ với kết quả quen thuộc trong đường tròn Cho một đường tròn C tâm O bán kính R khi đó ta có M ở trong đường tròn khi chỉ khi MI R 0 M ở trên đường tròn khi chỉ khi MI R 0 M ở ngoài đường tròn khi chỉ khi MI R 0. Như vậy nếu một đường tròn C có phương trình f x y 0 và một điểm M xm ym . f xm ym MI2 R2 P M c là phương tích của điểm M đối với đường tròn C Trong đó I là tâm đường tròn và R là bán kính của nó thế thì ta có f xm ym 0 tương ứng ta có điểm M xm ym nằm trong đường tròn. f xm ym 0 tương ứng ta có điểm M xm ym nằm ngoài đường tròn. f xm ym 0 tương ứng ta có điểm M xm ym nằm trên đường tròn. Đặc biệt với hai đường tròn C1 fi x y 0 Ơ2 f2 x y 0 không đồng tâm thì đường thẳng A fi x y f2 x y Chính là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. Đối với các đường Conic ta cũng có kết quả tương tự Nếu gọi phương trình Elip là f x y 0 và điểm M xm ym thì f xm ym 0 tương ứng ta có điểm f xm ym 0 tương ứng ta có điểm M- xm ym nằm trong miền chứa tiêu điểm. M xm ym nằm trong miền không chứa tiêu điểm. Đối với các đồ thị hàm số cũng vậy xem hình vẽ sau 61 Gọi C là đồ thị hàm số y f x . khi đó trên mặt phẳng toạ độ tập hợp các điểm M xm ym thoả mãn i ym f xm 0 là miền trên đồ thị miền gạch ví dụ M2 ii ym f xm 0 là miền dưới đồ thị miền không gạch ví dụ M Ví du Trên một đoạn thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ khi đó với mọi I trong không gian ta có iM Max IA iB A M B Thật vậy do tồn tại cặp p q e R2 p q 1 p q e 0 1 sao cho --- ---- ---- -- IM pIA qIB nên IM IM pIA qIB p q Max IA IB Max IA IB . Điều này dẫn đến bài toán cực trị trên đa giác lồi Chẳng hạn Trên mặt phẳng toạ độ Oxy có tam giác ABC xác định bởi giao các đường thẳng d1 A1 x Biy C1 0 d2 A2x B2y C2 0 d3 A3x B3y C3 0. Điểm M xm ym thuộc miền trong tam giác ABC khi chỉ khi đồng thời có f1 A f1 M 0 f2 B f2 M 0 f3 C f3 M .
