Biến phức định lý và áp dụng P2 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp. | 52 Chương 2. Số phức và biến phức trong lượng giác Khi đó theo Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì 0 hay ak aßb. a ß akbk k 1 2 . n. Từ đây suy ra YA aßYtt a ß E ak bk. k 1 k 1 k 1 Theo bất đẳng thức Cauchy thì A aß b k 1 k 1 1 z x 2 1 n E . A 2 22ak a 3 bk . k 1 k 1 Vậy nên . x 1 z x 1 n V A 2 1 2akj aß 2bk 2 a ß 2akbk. k 1 k 1 k 1 Từ đây ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy. Định lý . Giả sử ta có bộ n cặp số dương ak bk sao cho ak G a ß a 0 k 1 2 . n. bk Khi đó . 1 . 1 n 2 n 2 A n Eak. bd AYabk k 1 k 1 k 1 trong đó A ßß G paß Nhìn chung có rất nhiều bất đẳng thức nhận được từ các đồng nhất thức. Vì vậy việc thiết lập được các đồng nhất thức được coi như một phương pháp hữu hiệu để sáng tác và chứng minh bất đẳng thức. . Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy 53 Ví dụ . Chứng minh rằng với mọi bộ ba số x y z ta luôn có đẳng thức sau 2x 2y z 2 2y 2z x 2 2z 2x y 2 9 x2 y2 z2 . Hãy tổng quát hoá Ví dụ . Chứng minh rằng với mọi bộ bốn số x y z t ta luôn có đẳng thức sau 2 __ _ _ Q Ị _ _ y _ _ _ ry 1 2 _ _ l y _ _ -f- _ _ ry _ 1 li 2 L- I Ị L- rf L 9 _ y I 2 - Ị y 2 Q f2 y2 7 2 1 x y z b y Z b X z b x y b x y Z 4 X y z b Hãy tổng quát hoá Ví dụ . Chứng minh rằng với mọi bộ số uk vk pk ta luôn có đẳng thức sau n n í n Uk Vj Uj Vk pj Pk 21 ukPk 11 vkPk j k 1 k 1 k 1 Ví dụ . Chứng minh rằng với mọi bộ số uk vk pk ta luôn có đẳng thức sau Uj Vj Uk Vk Pj Pk 21 Uk vkPk j k 1 k 1 Tiếp theo ta xét một số mở rộng khác dạng phức của bất đẳng thức Cauchy. Định lý Bruijn . Với bộ số thực a1 . an và bộ số phức hoặc thực z1 . zn ta đều có 1 y a zk 2 k 1 izizki2 Ẻ z. k 1 k 1 n 2ak k 1 n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak Re Xzk k 1 . n trong đó X là số n phức và 2 X2z2 là số thực không âm. k 1 54 Chương 2. Số phức và biến phức trong lượng giác Chứng minh. Bằng cách thực hiện đồng thời phép quay quanh gốc toạ độ đối với các zk cùng một góc ta thu được n kzk 0. k 1 Rõ ràng phép quay này không ảnh hưởng đến giá trị của modul các số. n y ak Zk
