Biến phức định lý và áp dụng P6 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp. | 252 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Từ định nghĩa ta có r 1 Ị e-xdx -e 0 1 1 . 0 r n I Tích phân từng phần ta được t t S -r-v- . - 4 x- . 00 Dùng Định lý L Hospital ta có -tn-1e-t tiến đến 0 khi t ra œ. Vì vậy xn-1e xdx n 1 x ra-1 -1e-xdx 00 hay r n n - 1 r n - 1 và thay n bởi n 1 ta được r n 1 nr n r n r n 1 . Từ suy ra r n n - 1 r n - 1 n - 1 n - 2 r n - 2 n - 1 n - 2 n - 3 3 2 1 r 1 n - 1 Từ ta được r 1 1 do đó r n n - 1 . Người ta đã tính được các giá trị của r n với 1 n 2 và nhờ các công thức và ta có thể tính r n với mọi giá trị dương của n. . Tính tổng bằng phương pháp sai phân 253 Ví dụ . a. r r . h rtíì ÍZ r l-6 I JOQ 0. 1 0-6 0-6 . c. r n. Với n là số thực âm ta sẽ dùng công thức để tính r n . r 0-6 r 1-6 Ví dụ . r -0-4 0-4 0-6 Chú ý . Người ta chứng minh được rằng với n 0 và n nguyên âm thì r n không xác định. Hàm Beta Hàm Beta được định nghĩa bởi 3 m n Ị xm-1 1 x n-1 dx . 0 Hàm Beta xác định với mọi m n 0. Đặt y 1 x ta có xm-1 1 x n-1dx Ị yn-1 1 y m-1dy 3 n m . 00 Tiếp theo ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta. Trong đặt x z2 dx 2zdz ta được r n 2 -1 e- dz 0 Từ đó ta có 2 x2m-1dx 0 r n 2 Ị e-y2y2n-1dy 0 3 m n 254 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân r m r n e-x2-y2 x2m-1y2n-1dydx. Chuyển sang tọa độ cực ta có r m r n 7T rc 2 7- 2 9rn 1 1 9rn 1 ọ r 1 1 9 1 1 7 1 e r r 1 cos e 1r2n 1 sin e 1rdrde 0 0 2 2 Ị e-r2 r2 m n -1 dr 2 Ị cos e 2m-1 sin e 2n-1de 00 2 r m n 2 Ị cos e 2m-1 sin e 2n-1 de. 0 Ta sẽ chứng minh rằng 2 0 2 cos n 0 Đặt x cos2 e 1 x sin2 e dx 2 cos e sin ede. Ta được Ị cos2 ớ m-1 sin2 ớ n-1 -2cos 6 sin ddd 0 n 2 2 y cos e 2m-1 sin e 2n-1de. 0 Vậy ta có r m r n r m n ß m n hay ß mn r m r n ß m n r m n
