Biến phức định lý và áp dụng P9 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp. | Phụ lục B Hệ động lực hồi quy và hệ động lực tuần hoàn Q-1 Ma trận lũy linh Ma trận lũy linh và ma trận tuần hoàn là các vấn đề đã được đề cập đến. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu khai thác mặt ứng dụng của chúng chẳng hạn như nếu ma trận cộng đồng trong các hệ sinh học là ma trận luỹ linh hay tuần hoàn thì dáng điệu của hệ khi thời gian ra vô cùng sẽ dễ dàng nhận được nhờ tính chất đặc biệt của các ma trận này. Mặt khác sử dụng khai triển Jordan chúng ta có thể tìm được công thức nghiệm tường minh và một một phép chứng minh mới về tính ổn định nghiệm của hệ động lực cả rời rạc và liên tục . Định nghĩa . Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương p sao cho Ap 0 ở đây 0 là ma trận không . Đa thức đặc trưng của ma trận được định nghĩa bởi Xa X det XI - A . Định lý . Cho A là một ma trận vuông cỡ n X n trên trường bất kỳ. Thế thì A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu Xa X xn. 539 540 Phụ lục B Chứng minh. Nếu đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng xn thì áp dụng định lý Caley - Hamilton ta được An 0. Vậy A là ma trận luỹ linh. Để chứng minh phần đảo lại của định lý ta nhận xét rằng với trường k bất kỳ luôn tồn tại trường K là mở rộng của trường k sao cho trong K mọi đa thức với hệ số trong k có đủ nghiệm tức K là trường đóng đại số. Vì thế không mất tính tổng quát ta giả sử trường đã cho là trường đóng đại số. Kí hiệu A là một giá trị riêng của ma trận luỹ linh A ứng với véc tơ riêng U của A. Khi đó Aư Xv. Theo giả thiết A là ma trận lũy linh nên tồn tại số nguyên dương p 1 sao cho Ap 0. Do đó Apv xpv 0. Nhưng véc tơ riêng U không thể bằng 0 nên xp 0. Suy ra x 0. Vậy đa thức đặc trưng của A phải có dạng xn. Định lý được chứng minh. Nhận xét . Nhận xét rằng nếu k là trường số thực R hoặc trường số phức C thì ta có phép chứng minh khác. Thật vậy vì k là không gian Banach nên theo định lý của Gelfand bán kính phổ p A sup x x G a A lim An n . n -tt Mà A là ma trận lũy linh nên tồn tại số nguyên dương p 1 sao cho Ap 0. Do vậy
