Tham khảo tài liệu 'các bài toán dãy số thi trong olympic p3', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | xn 1 l-xn i xn l-xn 4 Xnl 1 - Xn Xn 1 - xn Xn 1 Xn vi 0 xn 1 xn là dãy tăng và bị chặn nên hội tụ Đặt X lim x l-x fvì xn 1 l-xn v o X2 - X ị 0 4 1 X 2 Vậy Ịim ỉ J n-n-co 2 b. Ta có xn xn m Vn m e N Cô dịch n cho n - co ta có ngay 1 Xn 2 Hơn nữa 1 2 n l a o i- 1 1 n k Gia sử xk 2 2k n k 1 Theo giả thiết quy nạp ta có 1_J_ Xk 2 2k . 1 - X. k 2 2k 189 1. 2 k _ 1 _ 1 Xk 1 2 k l 2 2 k l 4 - xk i l-xk Xk 1 4 ì 2k 1 Đpcm 34 Cho f 0 oo - 0 oo giảm và liên tục Giải sử hệ f a p f p a có nghiệm duy nhất a a p 0 Chứng minh rằng Dãy xn 1 f Xị với x0 tụ về a. Giải Ta chia ra hai trường hợp Nếu x2 xo Khi đó f x2 f x0 x3 X1 f x3 f xi x4 x2 Bằng quy nạp ta có được x2n x2n 2 Vn e N Để ý x2n f x f 0 Vn e N Quả vậy giả sử x2k x2k 2 Khi đó f x2k f x2k 2 X2k 1 X2k 3 f X2k l f X2k 3 X2k 2 X2k 4 1 đúng 190 p a 0 hội Vn e N Chứng minh tương tự x2n_1 x2n 1 Đểý xn 0 Vn e N Như vậy x2n tăng k bị chặn trên nên x2J hội tụ. Giả sử lim x2n a 0 n CO tx2n J giảm và bị chặn dưới nên x2n 1l hội tụ. Giả sử llmx2n i 0- n Do f liên tục trên 0 oo nên p X2n 1 lịm f x2n 1 f a n 0 a 11 X2n 2 lim f x2n 1 f p p f a a f p X p a lim x2n lim x2n 1 a n 00 n- oo lim xn a Nếu x2 - xo chứng minh tương tự lim xn a n- 00 Bạn đọc tự làm 35 Cho phương trình xn xn-1 . X - 1 0 Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương xn và tìm lịm xn. Giải Xét f x xn xnl . X - 1 n e N 1 f x nxn-1 n -1 xn 2 . 1 0 Vx 0 Hơn nữa fì O .fì l 1 - n 0 f x 0 có nghiệm dương duy nhất xn .