Đáp án đề thi Olympic sinh viên 2010 Các đề thi được xây dựng với nội dung đa dạng phong phú với hàm lượng kiến thức hoàn toàn nằm trong chương trình theo qui định của Bộ Giáo dục và Đào liệu dùng làm tham khảo rất hay. | Dich Vu Toan Hoc Dap an De thi Olympic Toan Sinh vien näm 2010 Dai so vÄ Giai tich About Giáo án các môn Dich vụ Toán học info@ Olympic Đề thi Chuyên đề Đáp án Toán Đại học Luyện thi Thi lớp 10 Đại học HSG Bồi dưổng Các loại Sách khác Ỵ Giải tích Hình học HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XVIII Môn Đại số Câu 1. Cho A B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho det A det A B det A 2B det A 2010B 0. i Chứng minh rằng det xA yB 0 với mọi x y 2 R. ii Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có det A det A B det A 2B det A 2009B 0. Giải. i Nhận xét rằng định thức p t det A tB là một đa thức bậc 2010 của í. Vì p 0 p 2010 0 nên ta có p t 0. Định thức q t det tA B là một đa thức bậc 2010 của í. Chú ý rằng q t t2010p t_ 1 khi t 0. Do đó ta cũng có q t 0 với mọi í. ii Có thể lấy ví dụ A diag 0 1 2 . 2009 và B I. Câu 2. Cho un vn wn là các dây số được xác định bởi u0 v0 w0 1 và 8n 2 N un 1 vn 1 wn 1 Un 7vn 5wn 2Un 8Vn 6wn 4un 16vn 12wn. Chứng minh rằng vn 2 là số nguyên chia hết cho 2n. -1 Giải. Ký hiệu A 2 4 7 -8 -16 5 6 và với n 2 N Xn 12 un Vn . Ta có Wn 8n 2 N Xn 1 AXn. Vậy nên 8n 2 N Xn AnX0. Đa thức đặc trưng của A là Pa x x x 1 x 2 . Do đó A có 3 giá trị riêng phân biệt A1 0 Ă2 1 Ă3 2 1 được. Từ đó nếu kí hiệu P 2 3 3 2 4 1 1 thì P-1 2 0 1 2 và A chéo hóa 2 -1 1 -1 . Đặt -5 4 000 B 0 10 thì A PBP-1. Từ đây suy ra 8n 2 N Xn AnX0 002 PBnP-1 X0. Do đó vn 2n .
