Đề thi cao học viện toán học 2009 Các đề thi được xây dựng với nội dung đa dạng phong phú với hàm lượng kiến thức hoàn toàn nằm trong chương trình theo qui định của Bộ Giáo dục và Đào liệu dùng làm tham khảo rất hay. | ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH Ngày thi 08 8 2009 Nơi thi Viện Toán học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Câu 1 1 5 điểm a Cho fix z 3 X e R. Tính f x f x với mọi X và chứng tỏ rằng 0 không tồn tại. b Giả sử f K R là một ánh xạ khả vi sao cho sup æ I 1. Chứng tỏ rằng có một điểm bất động duy nhất trên R tức là tồn tại duy nhất một giá trị X M thỏa mãn phương trình f x æ . Cãu 2 2 5 điểm Giả sử rằng a R f là hàm số thực khả vi cấp hai trên khoảng ữ oo và Mo Ml M2 tương ứng là các cận trên bé nhất của I z l Ỵs z l trên cư 00 . a Chứng minh rằng Mỵ MvỉqM 2. Gợi ý Vối mỗi X G a 00 và với mỗi h 0 theo-Định lý Taylor ta có ỉ hĩ 2h- ĩ x hỉ tl với G x x 2h . b Lấy ơ 1 và . f 2z2 - 1 nếu - Ị X 0 f z 21 I nếu 0 X 00. k ÍC l Bằng cách tính toán các hằng số Mo Ml và M2 hãy chứng tỏ rằng trong trường hợp này ta có đẳng thức Mị 4M0M2. Câu 3 1 5 điểm Cho F x là hàm số thực khả vi liên tục xác định trên đoạn a 5 c K. sao cho F à 0 F b 0 và 0 K1 F x K2 a X . Chứng tỏ rằng ta có thể sử dụng phương pháp xấp xỉ ỉĩên tiếp phương pháp lặp trong chứng minh định lý ánh xạ co của Banach để tìm nghiệm của phương trình F z 0. Gợi ý Xét hàm bổ trợ f x X XF x và chọn A sao cho ta có thể qưy việc tìm nghiệm của phương trình đã cho về việc tìm nghiệm của phương trình f x X với f là árih xạ co. Câu 4 2 điểm Giả sử Ạ B là các tập con của không gian mêtric X d . Chứng tỏ rằng a int A n B intA n intB b intA u ỉntB c ínt Ấ VB c ÃÙB Ã u B d AnB CÃnB e Nến B là tập mở thì A íì B c A n B. Xây dựng các ví dụ thích hợp để chứng tỏ rằng các bao hàm thức trong b d và e nói chung không có dấu bằng. Câu 5 2 5 điểm a Giả sử x t là hàm số thực liên tục xác định trên đoạn a b c R a ò có tính chất ị tnx t dt 0 vối mọi n 0 1 2 . Chứng minh rằng 2 t 0 với mọi t 6 a b b Cho f R là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại ụ e R sao cho Ịim f x thì f là bị chặn và hên tục đều trên hlH oo Rn. c Cho CƯ 7 là các số dương và ã b e R a ờ. Ký hiệu bởi K tập hợp các hàm số liên tục f a b R sao cho I f à I 7 và -f ỳ p x-v a .
