"Chuyên đề Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức . . .í . . a b c 3 VD1 BĐT Nesbitt Cho a b c là các sô thực dương . CMR I - I b c c a a b 2 y z - x a - - - 2 x b c Ta đặt j y c a - b z a b x z-y 1 íy z-x x z-y x y-z 3 ---nên BĐT 41 ----- - - I -- 2 21 x y z 1 2 z y x y - z c -------- 2 í x y 11 y z 1 í z x x y _ y z _ ịz x . I I I I I - - 2 2 1 . 6 đúng y x 1 z y 1 x z 1 yy x ỵ z y x z Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu xảy ra a b c VD2 Prance Pre -MO 2005 Cho các sô thực dương x y z thoả mãn x2 y2 z2 3. CMR x y zx 3 z xy xy a z Đặt - b với a b c 0 từ giả thiết x2 y2 z2 3 ab bc ca 3 x zx c I y Và BĐT cần CM CM BĐT a b c 3 mặt khác ta có BĐT sau a2 b2 c2 ab bc ca a b c Ợ3 ab bc ca 3 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu xảy ra x y z 1 __ ._1 4 9 _ VD3 Cho x y z 0 thoả x y z 1. CMR 36 x y z Từ giả thiết ta có thể đặt - y a x ----ĩ---- a b c b -------- với a b c 0 a b c c z ------ L a b c a b c a b c a b c _ Nên BĐT CM 36 abc b c a _ c a b 92 22 aa b b c c í b A a Y í c ct Y í c b V b a le a b x I 14. I I 19. 1 1 4. 9. . .9. . .9. 22 đúng 1 a b 1 1 a c 11 b c 1 Va b va c ỵ b c Dấu f b 2a xảy ra c 3a 1 x 6 1 3 1 z 2 VD4 Cho x y z là các số thực dương. CMR xyz x y - z y z - x z x - y x b c Ta đặt j y c a với a b c 0nên BĐT CM BĐT a b b c c a 8abc z a b mặt khác ta có a b b c c a - 8abc a b - c 2 b c - a 2 c a - b 2 0 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu xảy ra x y z VD5 IMO 2000 Cho a b c là các số thực dương thoả mãn abc 1 . CMR 1 a-1 ị b-1 1 c-1 1 1 1 b A c A a x a . y Do abc 1 nên ta có thể đặt b y với x y z 0 z z c x _ . í x _ z lí y . x lí z . y 1 _ Nên BĐT có thể viết lại -1 -1 -1 1 y y y A z z J x x xyz x y - z y z - x z x - y đã CM ở VD4 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu xảy ra a b c 1 VD6 IMO-1995 Cho a b c là các số thực dương thoả mãn abc 1 . 1 ----- T-- b c a c a b 2 CMR ---- a b c 1 a T x 1 Ta đặt t b y _1 c z với x y z 0 và do abc 1 nên xyz 1 2 o z 3 -----1---- y z z x x y 2 mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có y
