DÃY SỐ 1. Lý thuyết cơ bản Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng chính: 1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của một dãy số (bản chất đại số) 2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích) Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như: 1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân 2) Phương pháp phương trình. | DÃY SỐ 1. Lý thuyết cơ bản Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng chính 1 Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số tính tổng các số hạng của một dãy số bản chất đại số 2 Các bài toán tìm giới hạn dãy số bản chất giải tích Với loại toán thứ nhất chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như 1 Các công thức về cấp số cộng cấp số nhân 2 Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng thuần nhất và không thuần nhất Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các biến đổi đại số đưa bài toán về các bài toán quen thuộc tính toán và đưa ra các dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp toán học. Trong một số bài toán phép thế lượng giác sẽ rất có ích. Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng ta dùng phương pháp sai phân. Cụ thể để tính tổng Sn f 1 f 2 . f n ta đi tìm hàm số F k sao cho f k F k 1 - F k . Khi đó Sn F 2 - f 1 F 3 - F 2 . F n 1 - F n F n 1 - F 1 Với loại toán thứ hai ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý cơ bản về giới hạn dãy số bao gồm 1 Định lý Veierstrass Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2 Định lý kẹp Nếu xn yn zn với mọi n n0 và lim x lim zn a thì n V n V lim yn a. n r 3 Tiêu chuẩn Cô-si Dãy xn có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi s 0 tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m n N ta có xm - xn s. Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 a xn 1 f xn với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này câu hỏi thường gặp nhất là 1 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn 2 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số xn có giới hạn hữu hạn Để giải các bài toán dạng này ta có một số tính chất cơ bản sau Trang 1 1 Nếu f là hàm số tăng thì dãy xn sẽ là dãy đơn điệu. 2 Nếu f là hàm số giảm thì các dãy x2n dãy với chỉ số chẵn và x2n 1 dãy với chỉ số lẻ sẽ là các dãy đơn điệu. 3 Nếu với mọi x y ta có f x - f y q x-y với q là hằng số 0 q 1 và xn bị chặn thì xn hội tụ. Đặc biệt
