"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P6 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak. Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam | . Công thức Taylor và quy tắc L Hôpital 243 . Theo công thức Taylor f x - f 0 f0 0 x 1 f 01 x x2 g x - g 0 g 0 x 1 g Ỡ2 x x2 Mặt khác theo định lý giá trị trung bình f 0 0 x f 0 0 0 x f 0a x g 0 x g 0 0 x g ớ4 x Sử dụng các đẳng thức trên và tính liên tục tại 0 của f và g ta dễ dàng suy ra 0 x 1 lim - x 0 x 2 . a Theo công thức Taylor f 0 f x -x f x f0 x -x f x -x 2 f 0 f x x f x 1 x 2 x f n Çx -æ n n x f n 1 x - 01x n 1 - x n 1 Cho 0 1 - 01 ta được điều phải chứng minh. b Chú V rănơ f f x f I x2 là hư pâli c b Cnu ý r ng f ĩ xl f 11 làm như cau a - . Ta có . . x x f0 ix x f 2n íx x 2n ttœ t tx X- x t x -J- f 2J Ịx _I f 2 x f x f I2 2 f u 1 W 2n W Â4ni f 2n 1 2 012 Z x 2n 1 2n 1 I2J tương tự f 0 f x-x f T - rỉ 2 2 2 1 f 2n 1 2 -02 2 Z x 2n 1 2n 1 2 x . f2 x r VV 2n 2 244 Chương 2. Vi phân Trừ vế vổi vế hai đẳng thức trên ta được r. X X 2 x XX 2 x x 3 f X f 0 f X 2 3 f 3 2 2 . 2 f x xV -1 2n - 1 f ww f 2n 1 X 0 x f 2n 1 x a x 2n i f_I 21 2 2 22 X 2n 1 2 Vì đạo hàm thoả mãn định lý giá trị trung gian xem ta có điều phải chứng minh. . Sử dụng kết quả bài trên vổi f x ln x 1 X 0 và chú ý rằng đạohàm lẻ của f nhạn giá trị dương vổi X 0. . Sử dụng công thức Taylor vổi số dư dạng Peano xem a lim f x h 2f x f x h h 0 h2 í f x hf 0 x h f0 0 x o h2 lim J f x bf x 2 f x h 01 h2 2f x f x hf0 x 12 f x o h2 f 00 x b lim f x 2h 2f x h f x h 0 h2 l h2f00 x 4h2 h2 0 x h 0 h2 f 1 . Tương tự cách giải bài trên ta áp dụng công thức Taylor vổi phần dư dạng Peano. . . Công thûc Taylor va quy tac L Hôpital 245 a Theo công thûc Taylor vôi x 0 ta co _ n .k n 1 _ n .k e V ----- V k n 1 k k 0 v k 0 b Vôi x 0 ta co 2 x ln x 1 x 2 x3 x4 T T x51 x 5 1 01 x 5 2 x2 2 x3 x4 T T Tû-ng tû vôi x 1 ln x 1 x x 0 23 x2 x3 T T x4 1 x 4 1 02x 4 2 x2 2 x3 T c Sö dung công thûc Taylor cho hàm x V1 x ta dûoc p1 x 1 x------x2 ---x3------- 1 01 x -7 2x4 28 16 128v 1 x-----x2 ------x3 2 8 16 và n----- . 1 1 o 1 . 1 1 o 1 x 1 .
