Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. Hầu hết chúng là những bài đơn gian mà mỗi người có thể dễ dàng giải được. | - BÀI TẬp Giải tích hàm qua cÁc KỲ THI BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM QUA CÁC KỲ THI Trần Mậu Quý - - http Tập tài liệu nhỏ này chỉ là sự tuyển chọn các bài tập về không gian đinh chuẩn thưòng xuyên xuất hiện trong các đề thi của . Nguyễn Hoàng. Hầu hết chúng là những bài đơn giản mà mỗi học viên dễ dàng giải được. 1 Toán tử tuyến tính liên tục Bài 1. Cho X Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và A X Y là một toán tử cộng tính tức A x y Ax Ay với mọi X y 2 X. Chứng minh rằng nếu A liên tục tại 0 thì A liên tục trên X. Giải. Trước hết ta có A 0 A 0 0 A 0 A 0 nên A 0 0. 0 A 0 A x x A x x A x A x Suy ra A x Ax với mọi x 2 X. A x y A x y Ax A y Ax Ay với mọi X y 2 X. Lấy bất kì x 2 X. Giả sử xn x. Khi đó xn x 0. Do A liên tục tại 0 nên A xn x A 0 0 hay A xn Ax 0. Suy ra A xn Ax. Vậy A liên tục trên X. Bài 2. Cho X Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn thực và A X Y là một toán tử cộng tính 1. Chứng minh rằng nếu sup Ax 1 2 thì A là toán tử tuyến l x 1 tính liên tục trên X . Giải. Ta dễ dàng chứng minh được rằng A qx qAx với mọi q 2 Q x 2 X. Tiếp theo ta chứng minh A liên tục trên X. Cách 1 Gián tiếp Giả sử A không liên tục tại 0. Khi đó 9 0 0 8n 2 N 9yn 2 X yn 2 và Ayn 0 Đặt x nyn thì xn n yn n n 18n 2 N . Tuy nhiên PPU P nyn H nP yn H n 0 Suy ra sup Ax sup Axn sup n 0 1. Điều này mâu thuẩn với giả thiết. x 1 neN neN Do đó A liên tục tại 0. Theo Bài 1 thì A liên tục trên X. 1Nếu X là không gian định chuẩn phùc thì phải giả sử A tuyến tính 2Tổng quát A biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập bị chặn trong Y 1 - BÀI TẬp Giải tích hàm qua cÁc KỲ THI Cách 2 Trực tiếp 3 4 Đặt M sup Ax . Lấy bất kì x 2 X. Giả sử xn x. I x 1 Với mọi 0 chọn K 2 N sao cho M . Vì Kxn Kx nên có no 2 N sao cho Kxn Kx 1 8n no. Suy ra A Kxn Kx M hay K A xn Ax M. Do đó A xn Ax M 8n n0. Vậy A xn Ax. Cuối cùng với mọi r 2 R lấy dây rn c Q sao cho rn r. Khi đó A rx A lim rnx lim A rnx lim rnA x lim rn Ax rAx n i n i n i nu Vậy A tuyến tính. Bài 3. Cho X Y .
