" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1996 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong trường đại. | International Competition in Mathematics for Universtiy Students in Plovdiv Bulgaria 1996 1 PROBLEMS AND SOLUTIONS First day August 2 1996 Problem 1. 10 points Let for j 0 . n aj a0 jd where a0 d are fixed real numbers. Put a0 ai a2 . . . an A ai ao ai . an-i a2 a1 a0 . . . an 2 . an an 1 an 2 a0 Calculate det A where det A denotes the determinant of A. Solution. Adding the first column of A to the last column we get that a0 a1 a2 . 1 a1 a0 a1 . 1 det A a0 an det a2 a1 a0 . 1 an an 1 an 2 . . . 1 Subtracting the n-th row of the above matrix from the n 1 -st one n 1 -st from n-th . first from second we obtain that a0 a1 a2 1 d d -d . 0 det A a0 an det d d -d . 0 d d . 0 Hence d d d . -d d d d . -d det A 1 n a0 an det d . d d -d ddd d 2 Adding the last row of the above matrix to the other rows we have 2d 0 0 . 0 2d 2d 0 . 0 det A 1 n ao an det 2d 2d 2d . . . 0 d d d . . d -1 n ao an 2n-1 dn. Problem 2. 10 points Evaluate the definite integral sin nx ---- r- --dx J 1 2 sin x where n is a natural number. Solution. We have T sin nx In -----------------dx J-v 1 2x sin x sin nx 0 sin nx dx dx. do 1 2x sin x J 1 2x sin x In the second integral we make the change of variable x x and obtain T f sin nx f sin nx n Jo 1 2x sin x X Jo 1 2 x sin x X f 1 2x sin nx dx Jo 1 2x sin x f sin nx dx. o sin x For n 2 we have In - In- 2 fv sin nx sin n 2 x dx o sin x cos n 1 xdx 0. The answer In if n is even if n is .
