" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1997 ngày 2 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới. | FOURTH INTERNATIONAL COMPETITION FOR UNIVERSITY STUDENTS IN MATHEMATICS July 30 - August 4 1997 Plovdiv BULGARIA Second day August 2 1997 Problems and Solutions Problem 1. Let f be a C3 R non-negative function f 0 f0 0 0 0 f00 0 . Let p x Vf x Y g X f0 x J for x 0 and g 0 0. Show that g is bounded in some neighbourhood of 0. Does the theorem hold for f 2 C2 R Solution. Let c 2 f00 0 . We have g f0 2 - 2ff00 2 0 V7 where f x cx2 O x3 f 0 x 2cx O x2 f 00 x 2c O x . Therefore f0 x 2 4c2x2 O x3 2f x f00 x 4c2 x2 O x3 2 f0 x 2 f 2 4c2 x2 O x3 x Yc O x . g is bounded because 2 f0 x 2 TTTx 5 2 0 x 3 x 8c 0 and f0 x 2 2f x f00 x O x3 . The theorem does not hold for some C2-functions. 1 Let f x x x 3 2 2 x2 2x2y x x 3 so f is C2. For x 0 2 . 1 1 3 1 2 1 2 XM2 4 px x 0 Problem 2. Let M be an invertible matrix of dimension 2n x 2n represented in block form as A B C D M and M 1 E F G H Show that det M. det H det A. Solution. Let I denote the identity n x n matrix. Then det M. det H det AB CD det 1 H det A0 CI det A. Problem 3. Show that p 1 n lsin log n converges if and only if a 0. n 1 n Solution. Set f t . We have ta f . sin log t Cos log f ta 1 for a 0. Then from Mean value theorem for some 1 a p 1 a . . S . 1 co f n P f 2n-1 -f 2n n 1 1 a So lf0 t l - r e 2 0 1 we get f n 1 - f n f0 n e for a 0 and f n 0 we get that P 1 n 1 converges. n Now we have to prove that s n og n does not converge to 0 for a 0. na It suffices to consider a 0. We show that an sin log n does not tend to zero. Assume the contrary. There exist kn 2 N and An 2 kn An. Then an sin An . Since an 0 we get An 0. 11 2 2 for n e2 such that g n n. 2 We have kn 1 kn ioe n 1 - logn _ _ 1 log n _ _ nJ Then kn 1 kn 1 for all n big enough. Hence there exists no so that kn kn0 for n n0. So gn kn0 An for n n0. Since An 0 we get contradiction with log n 1. Problem 4. a Let the mapping f Mn R from the space Mn Rn of n x n matrices with real entries to reals be linear . 1 f A B f A f B f cA cf A for any A B 2 Mn c
