Bài tập nâng cao và một sô chuyên đề hình học 10 P3 nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình | í Ví dụ . Cho hypebol H xy k. Các điểm A B c thuộc H . Các đường thẳng BC CA AB cắt trục hoành lần lượt tại A B c. Các đường thẳng Aa Ab Ac theo thứ tự qua A B c vuông góc với BC CA AB. Chứng minh rằng Aa AB AC đồng quy. Giải. Giả sửA a B b - C c . k aj üj CJ k x_c y-77 Ta có BC ặ - ị - b - c k k b c Vì A BC n x Ox nên A b c 0 . _ z k kA Ta có BC c - b - - r c bj của đường thẳng BC là be - k . Chú ý rằng Aa qua A vuông góc với đường thẳng BC nên ta có Aa bc x - b c - ky 0. Dễ thấy Aa đi qua điểm L a b c - . Tương tự ta có AB Ac cũng đi qua Aa AB Ac đồng quy tại L . c _ b - bc Ta có BC c - b suy ra vectơ chỉ phương X2 V2 Ví dụ . Cho elip E 1 a b . Đường thẳng A thay đổi vuông góc a2 b vói x Ox cắt E tại M N. Aj -a 0 A2 a 0 là các đỉnh của E K AjM n A2N. Chứng minh rằng K thay đổi trên một hypebol. Viết phương trình hypebol đó. Gzởz GiảsửM xM yM N xM -yM . Các đường thẳng A M A2N có phương trình -a - X -a-xM z 0-y O-Ym 0-y 0- -yM AịM A2N a - X a-xM 162 Từ đó với chú ý rằng K AịMn A2N ta có a xK yK a XM yM a xK _ -yK a - XM yM í 2 2 .2 Ị a xK y 2 2 2 la - XM yM ỵl yỉí y2 x2 K thuộc hypebol H có phương trình - 1. a2 b2 X y 7 Ví dụ . Cho hypebol H -- - -i 1 với các tiêu điếm Fị -C 0 a2 b2 999 F2 c 0 và cho đường tròn C X y a A là một trong hai tiệm cận của H A cắt C tại Eị E2 xEi 0 Xg2 0 . Một đường thẳng song song với trục tung cắt H tại M và cắt A tại N. Chứng minh rằng NEị MFị NE2 MF2. Giải b Không mất tính tổng quát giả sử A y -X và XN 0 . Xét A -a 0 L e A và LA Ị y Oy. Ta có L -a b OL Va2 b2 c. Đặt p ĩ ôn f Ol . Ta có NE. ON - OE. - a costp XM _ a XM _ a cos Ĩ Ol xA OL Mặt khác MA MB nên điểm M x y phải thoả mãn X 0. Ta có MB2 x - 2 2 y2 AB 4 AO 2. Theo tính chất đường phân giác ta có MB IM X -2 . .2 M ĨA y 2x 2 2 2 2 4 9 16 X - 4x 4 y 4x 3x 4x - y -2- 2 1 2 Đặt x X y Y J J 0J a2 b2 thì 1 có dạng vt-2 a2 b2 Trong hệ toạ độ JXY 2 là phương trình chính tắc của một hypebol H . Vì X 0 nên M thuộc nhánh phải của H . TV A 2 _ 2 .2 _ .
