"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 14 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong. | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 14. Bài tập về không gian véctơ tiếp theo PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 13. Cho A B là các KGVT con của KGVT V. Chứng minh rằng A u B là KGVT con của KGVT V khi và chỉ khi A c B hoặc B c A. Giải. Nếu A c B hoặc B c A thì A u B B hoặc A u B A nên A u B là KGVT con của V. Ngược lại giả sử A u B là KGVT con của V nhưng A c B và B c A. Khi đó tồn tại x G A x ị B và y G B y ị A. Ta chứng minh x y ị A u B. Thật vậy nếu z x y G A u B thì z G A hoặc z G B dođó y z x G A hoặc x z y G B. Điều này trái với cách chọn x y. Vậy x y ị A u B. Như vậy tồn tại x y G A u B nhưng x y ị A u B dođó A u B không là KGVT con của V . Mâu thuẫn chứng tỏ A c B hoặc B c A. 14. Cho V là KGVT A là KGVT con của V. Chứng minh tồn tại KGVT con B của V sao cho A B V và A n B 0 Giải. Giả sử a1 . ak là một cơ sở trong A khi đó a1 . ak là hệ véctơ độc lập tuyến tính trong V do đó ta có thể bổ sung thêm các véctơ để được hệ véctơ a1 . ak ak 1 . an là cơ sở của V. Đặt B ak 1 . an . Khi đó vì A a1 . ak nên A B a1 . ak ak 1 . an V. Mặt khác nếu x G A n B thì tồn tại các số ai bj G R sao cho x a1a1 . ak ak và x bk 1ak 1 . bnan do đó a1 a1 . akak bk 1ak 1 . bnan 0 vì hệ véctơ a1 . an ĐLTT nên ai 0 bj 0 do đó x 0. Vậy A n B 0 . 15. Trong R4 cho các véctơ u1 1 1 0 0 u2 1 1 1 1 u3 0 1 0 1 u4 1 2 1 2 và E u1 u2 u3 u4 . a. Tìm cơ sở số chiều của E. b. Tìm một điều kiện cần và đủ để véctơ x a1 a2 a3 a4 G E. c Cho v1 1 a3 a 1 v2 1 b b3 1 v3 ab 1 ab 0 1 . Tìm a b để v1 v2 v3 là cơ sở của E. 1 Ma trận bậc thang sau cùng bậc 3 và 3 dòng khác không ứng với các véctơ u1 u3 u2. Do đó dimE 3 và cơ sở của E là hệ u1 u2 u3 và E u1 u2 u3 . b. x a1 a2 a3 a4 G E khi và chỉ khi phương trình véctơ x x1a1 x2a2 x3a3 nghiệm. Phương trình véctơ trên tương đương với hệ sau có 11 0 a1 11 0 a1 1 1 1 a2 0 0 1 a1 a2 01 0 a3 01 0 a3 01 1 a4 01 1 a4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 a1 1 1 0 a1 a3 0 1 0 a3 a1 a2 0 0 1 a1 a2 a4 0 0 1 a3 a4 a1 a3 ai a2 ai a2 a3 a4 vậy
