"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 16 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong. | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 16. Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận và của phép biến đoi tuyến tính - Chéo hóa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận Các khái niệm cơ bản Cho A là ma trận vuông cấp n A G Mn R 11 12 . 1n 21 22 2n . . . . n1 n2 nn Khi đó Đa thức bậc n của biến A 11 A 12 1n Pa A det A AI 21 . . . 22 A . . . 2n . . . n1 n2 nn A 1 nAn n-1An 1 1A1 0 gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Các nghiệm thực của đa thức đa thức đặc trưng Pa A gọi là giá trị riêng của ma trận A. Nếu A0 là một giá trị riêng của A thì det A A0I 0. Do đó hệ phương trình thuần nhất A AoI x1 . . . Xn 0 . . . 0 1 1 có vô số nghiệm. Không gian nghiệm của hệ 1 gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng Ao. Các vectơ khác không là nghiệm của hệ 1 gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng Ao. Các vectơ tạo thành một cơ sở của không gian riêng tức là các vectơ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của hệ 1 gọi là các vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng Ao. Ví dụ Tìm đa thức đặc trưng vectơ riêng giá trị riêng của ma trận A 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Giải -A 1 1 Ta có PAA 1 -A 1 -A3 3A 2 1 1 -A Vậy đa thức đặc trưng của ma trận A là PA A A3 3A 2 Pa A 0 A3 3A 2 0 o A 1 2 2 - A 0 o A -1 kép A 2. Vậy ma trận A có 2 giá trị riêng là A -1 A 2. Để tìm vectơ riêng của A ta xét hai trường hợp Ứng với giá trị riêng A -1. Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng A -1 ta giải hệ 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 x3. Nghiệm tổng quát của hệ là x1 -a - b x2 a x3 b. Do đó không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng A -1 là V_1 -a - b a b a b G R . Các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng A -1 là tất cả các vectơ có dạng -a - b a b với a2 b2 0 vì vectơ riêng phải khác không . Ta có dim V_1 2 và A có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng A -1 là a1 -1 1 0 a2 -1 0 1 T Ứng với giá trị riêng A 2. Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng A 2
