Ôn tập đại số cơ sở bài 3-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công. | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004 Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm Để kiểm tra một nhóm cho trước là cyclic thông thường ta áp dụng định nghĩa về nhóm cyclic. Ta nhắc lại định nghĩa đó Định nghĩa 1 Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử a E X và X à tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a bao gồm tất cả các lũy thừa nguyên của a. Vậy X a an n E Z Như vậy để chứng minh nhóm X là cyclic theo định nghĩa 1 ta bắt buộc phải chỉ ra cho được một phần tử sinh a E X đồng thời phải chứng minh rằng bất kỳ phần tử x E X đều viết được dưới dạng một lũy thừa nguyên của a. Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic X a . Chứng minh rằng mọi nhóm con A En X đều là nhóm cyclic. Bài giải Trường hợp A e thì A e . Trường hợp A e do A E X an n E Z ắt tồn tại một lũy thừa ak e mà ak E A và khi đó a-k E A do A là nhóm con. Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vào A hoặc ak hoặc a-k . Đặt m min k 0 ak E A ta chứng minh A am . Thật vậy với mọi x E A thì x ak với k r 0 r m và từ ak aq-m r am q .ar ta suy ra ar ak. am -q E A do ak am E A. Bởi điều kiện 0 r m và m là một số nguyên dương bé nhất để am E A buộc r 0. Tức là k hay x ak am q. Vậy A là nhóm cyclic. Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am E A ta căn cứ vào tính chất của phần tử sinh nếu am là phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak E A tất phải có ak am q tức k từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước của mọi số k mà ak E A. 1 Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1. Chứng minh A với phép nhân thông thường các số phức là một nhón cyclic. Phân tích ban đầu Vì A c C nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của C bằng cách tìm một phần tử a E C mà A a và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic. . Ả í 2kn Bài giai la biêu diên A cos----- n k E z . . 2kn _ ì i sin k E Z n J 2n hay A I cos i sin I n n Vậy A a với a cos--------- i sin E C tức
