Ôn tập đại số cơ sở bài 5-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công. | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Bài 5. Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu Để xử lí các bài tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu và các kết quả cơ bản liên quan tới đồng cấu Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu Cho X Y là các nhóm. Ánh xạ f X Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi x1 x2 6 X thì f f xi .f x2 Hiển nhiên là trong các định nghĩa lý thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhóm được ký hiệu theo lối nhân tuy nhiên trong các bài toán thực tế thì phép toán có thể được kí hiệu khác đi chẳng hạn theo lối cộng. Bởi vậy khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển đổi kí hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra cho phù hợp với thực tế. Ví dụ 1. Chứng minh rằng ánh xạ exp R R mà với mỗi X 6 R thì exp x ex là một đồng cấu. Rõ ràng dấu phép toán trong nhóm R là phép cộng còn dấu trong nhóm R là phép nhân. Vì vậy biểu thức đồng cấu lúc đó phải là Vx1 x2 6 R exp x1 x2 exp x1 .exp x2 và việc kiểm tra tính đúng đắn của hệ thức này là không mấy khó khăn nhờ tính chất của hàm số mũ xin nhường cho độc giả. Ví dụ 2. Cho X G1 G2 là các nhóm G G1 X G2 là nhóm tích. Cho f X G1 g X G2 là các ánh xạ. Ta xác định ánh xạ h X G G1 X G2 mà mỗi x 6 X h x f x g x Chứng minh rằng h là đồng cấu khi và chỉ khi f và g là các đồng cấu. Giải 1 Ta có h là đồng cấu khi và chỉ khi Vx1 x2 E X h h x1 .h x2 o f g f xi g xi f xi g x2 o f g f xi .f x2 g xi .g x2 o í f x1 x2 f x1 f x2 g g xi g x2 o f và g là các đồng cấu Ví dụ 3. Cho X Y là các nhóm cyclic có các phần tử sinh lần lượt là x y và có cấp m n tương ứng tức là X x m Y y n a Chứng minh rằng quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử xl E X với phần tử yk l trong đó k là số tự nhiên cho trước là một đồng cấu khi và chỉ khi km là bội của n. b Khi là đồng cấu hãy tính Kerp. Phân tích ban đầu Có thể nhận thấy rằng nếu quy tắc là ánh xạ thì hiển nhiên thỏa các yêu cầu về đồng cấu. Vì vậy thực chất của bài
