Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công. | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004 V rr X TV V X 7- . IV TI TA 3 Bài 6. Các Bài Tập Về Nhóm Đăng Câu Theo định nghĩa nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y và viết X Y nếu tồn tại một ánh xạ f đẳng cấu f X Y .Đe chỉ ra X đẳng cấu với Y theo ánh xạ f ta viết X Y. Quan hệ đẳng cấu trong lớp các nhóm là quan hệ tương đương vì 1x Với mọi nhóm X X X Nếu X Y thì Y f X f _ g _ _ gf _ Nếu X Y và Y Z thì X Z Như vậy để chứng tỏ hai nhóm X Y là đẳng cấu với nhau ta có thể thiết lập một ánh xạ đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X hoặc có thể thiết lập các ánh xạ đẳng cấu từ X Y tới một nhóm thứ ba. Ví dụ 1 Cho tập hợp các ma trận cấp hai sau A 0 ỉ a E rJ a Chứng minh rằng A là nhóm với phép nhân ma trận. b Chứng minh rằng A R trong đó R là nhóm nhân các số thực dương. Giải a Để chứng minh A là nhóm với phép nhân ma trận ta chỉ cần chứng minh A cn MI trong đó Ml là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến. Xin dành việc kiểm tra chi tiết cho bạn đọc. b Để chứng minh A R ta xây dựng ánh xạ f R A mà Va E R thì f a 1 In a 0 1 1 Dễ thấy f là đồng cấu vì Va b E R ta có f a-b 1 In ab 0 1 1 In a In b 01 1 Ina 1 Inb 01 0 1 f a f b Tính T p í. I 1 Ina r 1 0 1 ì Ker f j a E r f a 0 1 011 a E R In a 0 1 Vậy f đơn cấu. Hiển nhiên f toàn ánh vì với mọi 1 x 01 E A tồn tại a ex E R mà f a 1x 01 Vậy f là đẳng cấu A R . Nhận xét 1 Chúng ta đã khá quen biết với ánh xạ đẳng cấu In R R từ nhóm nhân các số thực dương tới nhóm cộng các số thực đồng thời từ phép nhân trong 1b 01 1 a b 01 ta dễ phát hiện ra A R . Vì vậy ta có thể chứng 1 0 minh A R thông qua hai đẳng cấu này và thật ra ánh xạ đẳng cấu xây dựng ở trên là sự kết hợp hai ánh xạ nói trên. Nhận xét 2 Nếu chúng ta nhớ rằng một ánh xạ song ánh f từ một nhóm X tới tập Y có trang bị phép toán hai ngôi mà f bảo toàn các phép toán thì khi đó Y cũng là một nhóm. Và do vậy trong bài toán trên kết quả câu a có thể được suy trực tiếp từ câu b mà không cần phải kiểm tra độc lập. Ví .
