Ôn tập đại số cơ sở bài 11-12-13-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công. | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 11 Các Bài Toán Về Đồng Cấu Vành Cho các vành X Y. Anh xạ f X Y là đồng cấu vành nếu Vx1 x2 E X thì f xi x2 f xi f x2 và f x1 x2 f x1 f x2 Nói một cách vắn tắt Anh xạ f giữa hai vành là đồng cấu vành hay đơn giản hơn đồng cấu nếu f bảo toàn hai phép toán có ở trong vành. Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu nếu ánh xạ f đồng thời là đơn ánh. Đồng cấu vành f được gọi là toàn cấu nếu ánh xạ f đồng thời là toàn ánh. Và đồng cấu vành f được gọi là đẳng cấu nếu ánh xạ f đồng thời là song ánh. Hiển nhiên f là đẳng cấu o f đồng thời là đơn cấu và toàn cấu. Ta nhắc lại sau đây một vài kết quả đáng để ý về đồng cấu vành thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đồng cấu vành. Hạt nhân của mỗi đồng cấu vành f được định nghĩa là ker f f-1 0 luôn là một Iđêan. Kết quả này cho phép chúng ta khi chứng minh bộ phận khác rỗng A là Iđêan của vành X có thể xác định một đồng cấu f X Y với Y là vành nào đó mà ker f A. Đồng cấu vành f X Y là đơn cấu o ker f 0. Kết quả này cho phép chúng ta thay cho việc kiểm tra f đơn ánh thì chỉ cần tính hạt nhân ker f. 1 Nếu f X Y là toàn cấu vành thì tồn tại và duy nhất đẳng cấu f X Kerf Y sao cho f f p trong đó p là phép chiếu p X X ker f. Kết quả này cho phép ta khi chứng minh về sự tồn tại một đẳng cấu từ một vành thương X A tới vành Y nào đó ta chỉ cần thiết lập một toàn cấu f X Y mà ker f A. Nếu f X Y là đẳng cấu thì f-1 Y X là đẳng cấu. Kết quả này cho thấy rằng quan hệ đẳng cấu của các vành là quan hệ đối xứng và khi kết hợp với các tính chất phản xạ bắc cầu vốn có thì quan hệ đẳng cấu là quan hệ tương đương. Các bài toán về đồng cấu vành trước hết là các bài toán kiểm tra tính đồng cấu đơn cấu hay đẳng cấu của một ánh xạ nào đó giữa các vành. Ví dụ 1 Cho vành X và End X là vành các tự đồng cấu của nhóm X . Với mỗi phần tử a E X xác định ánh xạ ha X X mà ha x ax Vx E X Chứng minh rằng 1. Va E X thì ha E End X và ánh xạ P X
