Trọn bồ đề thi cao học vinh là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | ĐẶNG XUÂN CƯƠNG - CAO HỌC 12 - GIẢI TÍCH - ĐẠI HỌC VINH Kỷ niệm hè 2005 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn Giải tích Ngành Toán Thời gian làm bài 180 phút Câul. 1 Giả sử hàm f R2 R cho bởi công thức X2 y f x y í X2 y2 0 nếu X2 y2 0 nếu X2 y2 0 a Xét tính liên tục của f trên R2. b Xét tính khả vi của hàm f tại điểm o o . 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ly Y ỵ X Íí2n 1è 1 X 0 Câu 2. Kí hiệu 11 í X Xn Xn e C n e N I1 X 1 1 _ 2 d1 X y ỂIXn -ynI d2 X y 1Xn -yj n 1 è n 1 0 Chứng minh rằng a d1 d2 lần lượt là các mêtric trên 11 b không gian 11 d1 đầy đủ khả li. c Không gian 11 d 2 không đầy đủ. với X Xn y y thuộc 11. Câu 3. Giả sử C o 1 là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên o 1 với chuẩn sup và A C o 1 C o 1 biến X thành Ax cho bởi Ax t t2 x í với mọi X e C o 1 và t e o 1 a Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A b Chứng tỏ rằng a C 0 1 là không gian con đóng của C o 1 . Câu 4. Ánh xạ f X Y từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có f à đóng trong Y. Chứng minh rằng f X Y là đóng khi và chỉ khi f A ì f a với mọi A ì X . 1 ĐẶNG XUÂN CƯƠNG - CAO HỌC 12 - GIẢI TÍCH - ĐẠI HỌC VINH Kỷ niệm hè 2005 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn Đại số Ngành Toán Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Gọi En 1 Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n với hệ số thực. Trong E cho các đa thức uk x với 0 k n được xác định như sau u0 0 uk x x x - 1 x - 2 --- x - k 1 với 0 k n. a Chứng minh rằng các đa thức uk k 0 lập thành một cơ sở của En 1. b Hãy chứng tỏ tổn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính j của En 1 thoả mãn n 1 điều kiện j xk uk k 0 1 2 K n . Và j là một song ánh. c Xác định ánh xạ 3 En 1 En 1 bởi điều kiện 3 p x p x 1 - p x p x e En 1. Hãy chứng minh 3 là một ánh xạ tuyến tính
