" Hàm sinh " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp trình bày hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | Mừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh franciscokison Hàm sinh Kim Đình Sơn 12A1 THPT Chuyên Vĩnh Phúc 1 Giới thiệu Xét dãy số an n 0 và hàm số G x a0 a-ịX a2x2 anxn Khi đó G x đươcj gọi là hàm sinh cho dãy an n 0 ta nói hàm G x mang đầy đủ thông tin về dãy un nEN .Hệ số của xn chính là số hạng ancủa biết đặc điểm của hàm G x ta hoàn toàn có thể biết mọi số hạng của dãy an một cách tổng quát. Ví dụ dãy số thỏa mãn phương trình sai phân an 1 ưan Van_1 0 ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn G x a0 a x Ux G x a0 Vx2G x 0 0 khi đó arß1 ßr2n xn n l Hay rM _a0 Ua0 Vai x G x 1 Ux Vx2 Nếu ĩ r2là hai nghiệm của phương trình đặc trưng X2 ux V _ y _ aữ Uaữ Vai x_ a ß _ x 1 r1x 1 rgx 1 rgx 1 r2x Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy là an arß1 ßr2n n 0. Trong đó a ß xác định theo uovà a . VÍ DỤ công thức tổng quát cho dãy yn n 0 với yữ 1 và yn ayn_r bn Vn 1. Giải Xét G x XhmiT A khi đó G x y0 ayn_1 bn xn ax ynxn n l n 0 bnxn n 0 1 1 bx ax G x Suy ra 1 1 b a bn 1 an 1 1 ax 1 bx b a 1 bx 1 axj b a n 0 1 Mừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh franciscokison hn 1-an 1 Do đó yn --- v n. D U VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng số Fibonacci -ã n 0 Giải Dãy Fibonacci thỏa mãn Fo 0 F-L 1 và Fn 1 Fn Fn_í Vn 1. Đặt OT ỉm n 0 Xét hàm sinh G x Sn o khi đó G X y X y n y X y n X - y X X 1 Ü x X k y - X y k yx X x 1 n 0 n 0 n 0 n 0 n 0 1 1 X X2 Đê ý rằng hàm sinh cho dãy Fibonacci cũng chính bằng 12 và co 0 a0 Fi 1 a-L .Suy ra an Fn Vn .Ta có điều cần chứng minh. VÍ DỤ 3. China MO Chứng minh rằng ỶH2U 2 ỉ I í I Ạk 2 ll l l n k 0 XL 2 Jz 2 Các phép toán trên hàm sinh Cho dãy a0 í í . .va G là hàm sinh bởi dãy số đó. Khi đó hàm sinh cho dãy Ca0 Cax . là x l o Canxn c Sn o c G . Ta có pháp nhân. Tiếp theo giả sử hai dãy an n 0 và bn n 0 có hai hàm sinh lần lượt là A x và B x . Khi đó dãy an bn n 0 có hàm sinh là Xn o an bn n Sn o an n Sn oồn n 71 B x ta có phép cộng. Nếu thêm đằng trước dãy u0 ax bằng k số 0 thì ta có hàm sinh co dãy 0 0 . 0 a0 ax . chính là Sn o an n k xkG ta có phép nhân. 2 Mừng xuân Canh
