Tài liệu "BĐT Schur và ứng dụng - Trần Xuân Đáng " được xây dựng với nội dung đa dạng phong phú với hàm lượng kiến thức hoàn toàn nằm trong chương trình toán học THPT theo qui định của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Tài liệu nhằm cung cấp và rèn luyện cho các bạn kỹ năng giải bài tập, giúp các bạn có tâm thế vững vàng trong các kỳ thi sắp các bạn học tốt. | BĐT 2 tương đương với các BĐT sau ứ3 ò3 c3 3abc a2b ab2 b2c bc2 c2a 4- cai2 3 b c - đXđ c - b a b -c abc 4 4 ữ b c ab bc ca a b CỸ 9abc 5 III. ỨNG DỤNG Ở phần tiếp theo chúng tôi trinh bày một sổ áp dụng của BĐT Schur dưới dạng 2 3 4 5 qua một so thí dụ. http vn http lãn Bất dẳng th Schur VÀ ỨNG DỤNG TRẲN XUÂN ĐÁNG G V THPĨ Chuyên Lẽ Hóng Phong Nam Dịnh Thí dụ 1. Cho ba số thực không âm X y z thỏa mân x y z 1. Chứng minh răng A . _ . _ _7 0 xy yz zx - 2xyz DÌ thi Toủn Quốc tể - 1984 I. BÁT ĐẢNG THỨC SCHUR Nếu a. b. c và t là các sổ thực dương bất kì thì a a - b a - c b b - c b - a c c-a c-b 0 I Chứng minh. Không mất tính tổng quát già sử a 2 b c 0. Khi đó a b a a - 6 a - c ì b a - b b - c à a - b a - c h b - c b - đ 0. Mặt khác c c - a c - ờ 0. Vậy à La - b a - c b h - cỴb - a c c - aXc - b 0. Đẳng thức ở 1 xảy ra khi và chi khi a b - c. II. HỆ QUẢ l Nểu I ta có a a - Xứ -c b b- c b - ỡ c c - a c - b 0 2 Lời giảL Ta có xy yz zx - 2xyz - ỡ y 2XJfy yz zx - 2xyz x2y xy2 ý2z yz2 Z2X zx2 xyz ằ 0 xy yz zx - 2xyz ịị o X y z xy yz zx - 2xyz s ắ x y z 3. o 7 x3 15xyz 6 y xy2 y2z yz2 Z2X zx2 6 Theo BĐT 3 ta có 6 3xys 6 x2 xy2 z yz2 z2x zx2 . X3 y è 3xyz. Từ đó và theo BĐT Cauchy suy ra 6 Vậy BĐT 6 là đúng. Dấu băng ở 6 xảy ra x y z Thí dụ 2. Giả sử a b c là ba sổ thực dương sao cho abc I. Chứng minh răng Dẻ thi Toán Quốc tế - 2000 Lời giải. Dặt X a y 1 z Ý ac b thì a b c . y BDT 7 8 yzx Từ đô và BĐT 4 thi BĐT 8 đúng. Suy ra BĐT 7 đúng. Dấu bảng ở 7 xảy ra khi và chi khi a - b c 1. Thi dụ 3. Cho ba số thực dương ứ b. c. Chứng minh răng a2 4 2Xỏ2 4 2Xc2 2 a 9 ab bc 4 ca 9 Đẻ thi Olympic Toán Cháu Ả - Thài Bình - 2004 Lài giãi. BĐT 9 tương đương với a262c2 4 2 ơ2à2 4 Ờ2C2 4 Sa2 4 4 a24òW 4 8 a 9 aò 4 bc ca . Ta cỏ a2 b2 c2 z ab bc ca -y ứ2 2 4 1 4 Ò2C2 4 1 4 c2ứ2 4 1 a 2 ab bc ca a2b2c2 I 4 I a 3 tfa2b2c2 a ---7 a 6 c a 4 aờ 4 bc 4 ca - ơ b 4 c 2 theo BĐT 5 a2b2c2 4 2 a 2 ab bc ca - a2 4 b2 4 c2 Vậy a2b2c2 4 2 4 l a2b2 4 b2c2 4- c2a2 4 3 4 4 4 .
