Tài liệu học tập tham khảo môn giải tích cơ sở - phần 3: độ đo và tích phân, chuyên ngành giải tích, phương pháp dạy học toán, bài số 2: Hàm đo ngược. | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán 2. HÀM ĐO ĐƯỢC Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho một không gian đo được X F tập A E F và hàm f A R. Với a E R ta sẽ ký hiệu A f a x E A f x a Các tập hợp A f a A f a A f a được định nghĩa tương tự. Ta nói hàm f đo được trên A đo được đối với a-đại số F hay F-đo được nếu A f a E F Va E R Định lý 1 Các mệnh đề sau tương đương 1 f đo được trên A 2 A f a E F Va E R 3 A f a E F Va E R 4 A f a E F Va E R 2. Một số lớp hàm đo được Cho không gian đo được X F . Các tập hợp được xét dưới đây luôn giả thiết là thuộc F. 1 Hàm hằng số là đo được. Hàm đặc trưng 1A của tập A là đo được khi và chỉ khi A E F. 2 Nếu f đo được trên A và B c A thì f đo được trên B Nếu f đo được trên mỗi An n E N thì f đo được trên u An n 1 3 Giả sử các hàm f g đo được trên A và chỉ nhận các giá trị hữu hạn. Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A f l f 1 a 0 f g f nếu g x 0 Vx E A 4 Giả sử các hàm fn đo được trên A n E N . Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A a g x sup fn x n E N h x inf fn x n E N b f x lim fn x nếu giới hạn tồn tại tại mọi x E A. n 1 3. Hàm đo được theo Lebesgue Hàm đo được đối với a-đại số các tập L đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay L đo được Định lý 2 Nếu A c R là tập L -đo được và hàm f A R liên tục thì f là hàm L -đo được. 4. Hàm đơn giản Định nghĩa Cho không gian đo được X F và tập A G S. Hàm f A R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng f x E ai1Ai x i 1 trong đó Ai G F i T n Ai n Aj 0 i j u An A và U là hàm đặc trưng của tập Ai Như vậy hàm đơn giản là hàm đo được chỉ nhận hữu hạn giá trị. Định lý 3 Nếu f là hàm không âm đo được trên A thì tồn tại dãy sn các hàm đơn giản trên A sao cho i 0 Sn x Sn i x Vx G A ii lim sn x f x Vx G A n -tt 2 PHẦN BÀI TẬP Bài 1 Cho hàm f X R đo được và các số a b G R a b. Chứng minh rằng hàm f f x nếu a f x b g x a nếu f x a là đo được trên X 1 b nếu f x b GIẢI Cách 1 Đặt A1 X a f b A2 X f a A3
