Tài liệu tham khảo toán đại số lý thuyết đại cương | PHÀN NỘI DUNG Chương 1. KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa. Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi G . được gọi là nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau i Với mọi x y z thuộc G thì xy z x yz . ii Tồn tại e thuộc G sao cho ex xe X V X G G. iii Với mọi X thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy yx e. Ta kí hiệu y là X 1. Đe cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm G . là G. Neu phép toán hai ngôi trong nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel. Định nghĩa. Cho G là nhóm H là tập con khác rỗng của G. Neu H cùng với phép toán cảm sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm G. Ta kí hiệu H G. Định nghĩa. Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là g . Neu g hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn. Định nghĩa. Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu VxeG vhe H thì xhx 1 e H. Ta kí hiệu H 1G. Định nghĩa. Cho G là nhóm. í Neu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên p là số nguyên tố thì G được gọi là pnhóm. ií Neu H là nhóm con của G và H là p nhóm thì H được gọi là p nhóm con của G. Neu G là nhóm cấp và m p l và H là nhóm con cấp pn của G thì H được gọi là pnhóm con Sylov của G. iv Hai nhóm con H1 H2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại X thuộc G sao cho Hi xH2x 1 và ta viết H1 H2. 3 Định nghĩa. Cho X y là 2 phần tử thuộc nhóm G. Phần tử xyx -1y 1 được gọi là một hoán tử của G và kí hiệu là x y . Nhóm con của G sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G kí hiệu là G G được gọi là nhóm con các hoán tử. Như vậy G G S với s x y X y G G . Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nhóm G có một dãy hữu hạn các nhóm con G Go G1 . Gn e thỏa các điều kiện sau Gi Gi_i với mọi i l 2 . n. Gi-i Gi là nhóm Abel với mọi i n i 1. Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G chỉ có 2 nhóm con chuẩn tắc là e và G. Định nghĩa. Cho G là nhóm . Họ các nhóm
