Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K ( K - là trường thực R, hoặc phức C ) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột. | I. Các định nghĩa về ma trận: 1. Định nghĩa : Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau: Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là hay Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K) Ví dụ : là ma trận cấp 2 x 3. là ma trận cấp 3 x 2. Ví dụ : Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: Nhận xét: - Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát. - Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0. - Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K) - Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột - Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33, , ann được gọi là đường chéo chính của A. 2. Định nghĩa : Cho . Khi đó: - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo. - Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2, , an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, , an - Ma trận chéo có (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In - Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng. - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên. - Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới. - Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. II. Các phép toán trên ma trận: 1. Định nghĩa (hai ma trận bằng nhau): Cho . Ta nói A = B khi và chỉ khi: Ví dụ: Với Thì Hai ma trận không thể bằng nhau do không cùng cấp. 2. Định nghĩa (Ma trận chuyển vị): Cho . Ta nói: là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu: Ví dụ: Nếu thì 3. Tính chất : Cho . Khi đó: 1. 2. Ghi chú: Cho . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu AT = – A thì ta nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ: là ma trận đối xứng. là ma trận phản xứng. Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0. 4. Phép nhân một số với một ma trận: Cho Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận được xác định bởi: – Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A. 5. Cộng hai ma trận: Cho Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận được xác định bởi: Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B. 6. Tính chất : Cho . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT) 7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho: 8. Định lý : Cho . Khi đó: hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A 4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0 nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT
