Phương trình bậc cao: Ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc cao giải được bằng cách sử dụng các đồng nhất thức đại số và lượng giác. | 102 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số trong đó 6a2 3 a 16 b - 2a3 1 16 2 3 Y c 16 3a4 - 16 a2 64afi - 256Ố . Tiếp theo ta giải theo cách giải của bài toán trước. Ví dụ . Cho a 0. Khai triển biểu thức 1 ay x 8 1 aựxỹ ta thu được đa thức bậc 4 P x . Giải phương trình P x 0. Lời giải. Đặt a2x t ta thu được phương trình t4 28t3 70t2 28t 1 0. Đây là phương trình hồi quy nên dễ dàng đưa về dạng phương trình bậc hai y2 28y 68 0 với y t t. Phương trình bậc hai này có hai nghiệm y1 2 14 ự 128. Từ đó ta tìm được t và tính được phương trình có 4 nghiệm thực âm. Ví dụ . Giải phương trình t4 4t3 3t2 12t 16 0. Lời giải. Đặt t x 1. Ta được phương trình x4 3x2 10x 4. . Phương trình và hệ phương trình đại số 103 Ta xác định a sao cho 102 4 3 2a 4 a2 hay 2a3 3a2 8a - 13 0. Ta thấy a 1 thoả mãn phương trình. Vậy có thể viết phương trình đã cho dưới dạng x2 1 2 5x2 10x 5 hay x2 1 2 5 x 1 2. Giải phương trình này ta thu được các nghiệm là ự5 y 1 G 5 x1 2 ----- 2------- Phương trình bậc cao Ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc cao giải được bằng cách sử dụng các đồng nhất thức đại số và lượng giác. Ví dụ . Cho bộ số m n p G R. Giải phương trình x3 m3 x3 n3 3 3 x m x n x p 0 x m 3 . x3 p3 2 2 x m x n x p x n 3 - - v 7 x p 3 Lời giải. Nhận xét rằng x3 m3 1 3 x m 2 x m 3 4 4 x m 2 . Vì vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình sau 1 3 x m 2 1 3 x n 2 1 3 x p 2 4 4 x UỢ2 4 4 x II 2 4 4 x p 2 3 3 x m 2 2 x m x n x p 0. x n x p 104 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số Đặt x m x n 1 x p --- a b c x m x n x p và để ý rằng 1 3 a2 1 3 b2 1 3 c2 3 3 abc 0 44 44 44 42 có thể biến đổi được về dạng ab c 2 1 a2 1 b2 . Thay các giá trị a b c theo biến x m n p ta được 4 x3 mn mp np x 2 x m 2 x n 2 x p 2 4mx 2 4nx . 1 b2 . x m 2 x n 2 ab c 2 1 a2 Vậy có dạng x2 x2 2 x p y mn mn mp np x2 2 x p y mn mn mp np 0. Giải ra ta được các nghiệm của phương trình là x1 x2 0 x3 4 ựmp ựnp ự mn x5 6 ựmn ựmp y np. Ví dụ
