Sự tồn tại: Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lý được xác định theo công thức. Thật vậy, giải phương trình đối với w ta thu được hàm phân tuyến tính. Ngoài ra, khi thế cặp z=z1, và w=w1 vào thì cả hai vế của () đều bằng 0. | 152 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số z- J1 z3 zi cấu đó được xác định theo công thức w w1 w3 w2 z z1 w w z Z2 Chứng minh 1. Tính duy nhất. Giả sử ta có hai đẳng cấu w1 z và w2 z thỏa mãn các điều kiện của định lí. Giả sử z2 w là ánh xạ ngược của w2 z . Ta xét ánh xạ Z2 w1 z . đó là một đẳng cấu phân tuyến tính. đẳng cấu này có ba điểm bất động z1 z2 và z3 vì Do đó nếu đặt Z2 w1 z wi zk Wk k 1 2 3 Z2 wk zk k 1 2 3. az b ------ - thì cz d azk b - zk k 1 2 3 czk d hay là czk d a zk b 0 k 1 2 3. Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có thể có ba nghiệm khác nhau z1 x2 z3 khi mọi hệ số của nó đều bằng 0 tức là a d b c 0 và Z2 w1 z z hay là w1 z w2 z . 2. Sự tồn tại. Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí được xác định theo công thức . Thật vậy giải phương trình đối với w ta thu được hàm phân tuyến tính. Ngoài ra khi thế cặp z z1 và w W1 vào thì cả hai vế của đều bằng 0. Thế cặp z z3 và w w3 vào ta thu được cả hai vế đều bằng 1 và cuối cùng thế cặp z z2 và w w2 ta thu được cả hai vế đều bằng X. Trong hình học biểu thức z z1 z3 z1 z z2 z3 z2 . Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 153 được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z z1 z2 và z3. Nếu bốn điểm z1 z2 z z3 nằm trên một đường tròn hoặc đường thẳng thìtỉ số phi điều hòa là một số thực. Thật vậy a Nếu các điểm z1 z2 z z3 nằm trên đường thẳng z Co té1 X t TO ta có Z1 Zo t1éia Z2 Zo t2éia z Zo toéia Z3 Zo t3éia và từ đó z z Z1 3 Z1 to t1 t3 t1 G R z1 z2 z z3 - ----------- 7------ 7 e R. z Z2 Z3 Z2 to t2 t3 Ủ2 b Nếu các điểm z z1 z2 z3 nằm trên đường tròn z zo réit r 0 0 t 2n ta có Z1 zo reiipí z2 zo réilfi2 z3 zo ré 3 và từ đó ta có Z1 Z2 Z Z3 gi Q é l é 3 é l gi Q gi 2 gi 3 gi 2 ỵọ 1 éi 2 ỵ0-yi é 2 ỵ0-yi é i 2 iỵ2 a r iy3-yi _. 3- 1 é 2 é 2 é - 2 Vữ 2 é1 2 i VỌ-VỊ _i ro-VỊ é 2 é - 2 in 3 r y3-y2 .ỵ3- 2 é 2 é 2 é 2 Vo 1 Vo P1 sin - sin- -- -77 -- n. - G R Vo V2 V3 V2 sin - sin- 22 Từ định lí ta rút ra một tính chất quan trọng nữa của đẳng cấu
