TÍCH PHÂN HÀM PHỨC

Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho một hàm phức f(z). Tích phân của f(z) dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là: lim ∑ f ( t k )(z k − z k −1 ) = ∫ f (z)dz n →∞ k =1 C n (1) Trong đó a = zo , z1,,zn = b là những điểm kế tiếp nhau trên C; a và b là hai mút, tk là một điểm tuỳ ý của C nằm trên cung [ zk, zk-1]. Giới hạn (1) thực hiện sao cho max lk →. | CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC 1. Định nghĩa Cho đường cong C định hướng trơn từng khúc và trên C cho một hàm phức f z . Tích phân của f z dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là n lim 5 f tk zk - Zk-1 ff z dz 1 k i C Trong đó a zo z1 . zn b là những điểm kế tiếp nhau trên C a và b là hai mút tk là một điểm tuỳ ý của C nằm trên cung zk zk-1 . Giới hạn 1 thực hiện sao cho max lk 0 với lk là độ dài cung zk zk-1 . 2. Cách tính Đặt f z u x y jv x y zk xk jyk ÁXk xk - xk-1 Ayk yk - yk-1 tk ak jPk u ơk pk uk v ơk pk vk ta có 5f tk zk- zk-1 5 uk Axk- vk AyJ j5 uk Axk vk AyJ 2 k 1 k 1 k 1 Nếu đường cong C trơn từng khúc và f z liên tục từng khúc giới nội thì khi n OT vế phải của 2 tiến tới các tích phân đường của hàm biến thực. Do đó tồn tại j f z J udx - vdy j j udy vdx 3 Nếu đường cong L có phương trình tham số là x x t y y t và a t p thì ta có thể viết dưới dạng hàm biến thực z x t jy t z t a t p với z a a z b p. Khi đó ta có công thức tiện dụng p Jf z dz Jf z t .z t dt 4 C a Ví dụ 1 Tính I j Rezdz L là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và 1 j theo chiều từ 0 đến Điểm O ứng với t 0 và điểm B ứng với t 1. Theo 4 51 I J Re 1 j t dt J 1 j tdt 1 j J tdt i J-0 0 0 2 dz Ví dụ 2 Tính I J L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên nối điểm -a Lz và a chiều lấy tích phân từ -a đến a. Phương trình tham số của đường cong L là x acos t y asin t Vậy z t a cost jsint ae11. z t jaeJt. Điểm -a ứng với t n điểm a ứng với t 0. Theo 4 1 J dr M j dt -jn L z ỉ aej n Ví dụ 3 Tính I J 1 j - 2z dz C là cung parabol y x2 nối gốc O và điểm B có toạ độ 1 1 . Hàm f z 1 j - 2z 1 j - 2 x - jy . Tách phần thực và phần ảo ta có u x y 1-2x v x y 1 2y. Dùng 3 ta có I J 1 - 2x dx - 1 2y dy jJ 1 2y dx 1 - 2x dy Chuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có J 1 - 2x dx - 1 2y dy J 1 - 2x dx - 1 2x2 2xdx J -4x3 - 4x 1 dx - 2 C0 0 J 1 2y dx 1 - 2x dy J 1 2x2 dx 1 - 2x 2xdx J -2x2 2x 1 dx í C 0 0 3 Thay vào trên ta có I -2 4j 3 Ví dụ 4 Tính I J z2dz AB là .

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.