Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho một hàm phức f(z). Tích phân của f(z) dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là: lim ∑ f ( t k )(z k − z k −1 ) = ∫ f (z)dz n →∞ k =1 C n (1) Trong đó a = zo , z1,,zn = b là những điểm kế tiếp nhau trên C; a và b là hai mút, tk là một điểm tuỳ ý của C nằm trên cung [ zk, zk-1]. Giới hạn (1) thực hiện sao cho max lk →. | CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC 1. Định nghĩa Cho đường cong C định hướng trơn từng khúc và trên C cho một hàm phức f z . Tích phân của f z dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là n lim 5 f tk zk - Zk-1 ff z dz 1 k i C Trong đó a zo z1 . zn b là những điểm kế tiếp nhau trên C a và b là hai mút tk là một điểm tuỳ ý của C nằm trên cung zk zk-1 . Giới hạn 1 thực hiện sao cho max lk 0 với lk là độ dài cung zk zk-1 . 2. Cách tính Đặt f z u x y jv x y zk xk jyk ÁXk xk - xk-1 Ayk yk - yk-1 tk ak jPk u ơk pk uk v ơk pk vk ta có 5f tk zk- zk-1 5 uk Axk- vk AyJ j5 uk Axk vk AyJ 2 k 1 k 1 k 1 Nếu đường cong C trơn từng khúc và f z liên tục từng khúc giới nội thì khi n OT vế phải của 2 tiến tới các tích phân đường của hàm biến thực. Do đó tồn tại j f z J udx - vdy j j udy vdx 3 Nếu đường cong L có phương trình tham số là x x t y y t và a t p thì ta có thể viết dưới dạng hàm biến thực z x t jy t z t a t p với z a a z b p. Khi đó ta có công thức tiện dụng p Jf z dz Jf z t .z t dt 4 C a Ví dụ 1 Tính I j Rezdz L là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và 1 j theo chiều từ 0 đến Điểm O ứng với t 0 và điểm B ứng với t 1. Theo 4 51 I J Re 1 j t dt J 1 j tdt 1 j J tdt i J-0 0 0 2 dz Ví dụ 2 Tính I J L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên nối điểm -a Lz và a chiều lấy tích phân từ -a đến a. Phương trình tham số của đường cong L là x acos t y asin t Vậy z t a cost jsint ae11. z t jaeJt. Điểm -a ứng với t n điểm a ứng với t 0. Theo 4 1 J dr M j dt -jn L z ỉ aej n Ví dụ 3 Tính I J 1 j - 2z dz C là cung parabol y x2 nối gốc O và điểm B có toạ độ 1 1 . Hàm f z 1 j - 2z 1 j - 2 x - jy . Tách phần thực và phần ảo ta có u x y 1-2x v x y 1 2y. Dùng 3 ta có I J 1 - 2x dx - 1 2y dy jJ 1 2y dx 1 - 2x dy Chuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có J 1 - 2x dx - 1 2y dy J 1 - 2x dx - 1 2x2 2xdx J -4x3 - 4x 1 dx - 2 C0 0 J 1 2y dx 1 - 2x dy J 1 2x2 dx 1 - 2x 2xdx J -2x2 2x 1 dx í C 0 0 3 Thay vào trên ta có I -2 4j 3 Ví dụ 4 Tính I J z2dz AB là .
