Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên môn toán - Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng. | CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1 Hệ số bất định. Nguyên tắc chung Dựa vào điều kiện bài toán xác định được dạng của f x thường là f x ax b hoặc f x ax2 bx c. Đồng nhất hệ số để tìm f x . Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 1 Tìm f R R thỏa mãn f xf y x xy f x Vx y e R 1 . Lời giải íx 1 Thay j y e R vào 18 ta được f f y 1 y f 1 a . Thay y -f 1 -1 vào a suy ra f f -f 1 -1 1 -1. Đặt a f -f 1 -1 1 ta được f a -1. Chọn y ta được f xf a x xa f x xa f x f 0 . 1 x e R . Đặt f 0 b f x -ax b. Thế vào 1 và đồng nhất hệ số ta được a2 1 -ab - a -a a 1 a -1 b 0 f x x f x - x Vậy có hai hàm số cần tìm là f x x và f x -x. Ví dụ 2 Tìm f R R thỏa mãn f f x y y f x - f y Vx y e R 2 . Lời giải Cho y 0 xe R 2 f f x 0 Vxe R a . Cho x f y 2 f f f y y yf 0 a . a a f y y f 0 . Đặt f 0 a f y ay Vy e R. Thử lại 2 ta được a2 x2 y2 a y - xy 0 Vx y e R a 0 f x 0 Vx e R. Vậy có duy nhất hàm số f x 0 thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3 Tìm f g R R thỏa mãn 2f x -g x f y -y Vx yeR a f x g x x 1 Vx e R b Lời giải Cho x y e R khi đó a f x g x - x .Thay lại a ta được 1 g x 2x - 2y g y Vx y e R c . Cho y 0 x e R từ c ta được g x 2x g 0 . Đặt g 0 a ta được g x 2x a f x x a. Thế vào a b ta được 2 x a 2 x a a b x a 2x a x 1 Vxe R 2x2 3a-1 x a2 -1 0 Vxe R a - 3 2 0 a 3. Vậy f x x 3 g x 2 x 3. Ví dụ 4 Đa thức f x xác định với Vx e R và thỏa mãn điều kiện 2f x f 1 - x x2 Vxe R 1 . Tìm f x . Lời giải Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất x 1 - x vế phải là bậc hai x2. Vậy f x phải có dạng f x ax2 bx c. Khi đó 1 trở thành 2 ax2 bx c a 1 - x 2 b 1 - x c x2 Vx e R do đó 3ax2 b - 2a x a b 3c x2 Vx e R 3a 1 Đồng nhất các hệ số ta thu được d - 2a 0 a b 3c 0 í 1 a 3 b 2 3 _1 c - 3 1 2 Vậy f x 3 x 2x -1 Thử lại ta thấy hiển nhiên f x thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta phải chứng minh mọi hàm số khác f x sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán Thật vậy giả sử còn hàm số g x khác f x thỏa mãn điều kiện bài toán. Do f x không trùng với
