Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học, cao đẳng chuyên môn toán - Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn . *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun= 0 hay un ®0 khi n ® + ¥ *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n ®+ ¥ nếu lim(un-a)=0. | Chương IV. GIỚI HẠN A. GIỚI HẠN CỦA DÃY số CÓGIỞI HẠN 0 ỉ. Định nghĩa dây số giới hạn 0 Định nghĩa Ta nói rằng dây số u có giới hạn là 0 hay có giới hạn 0 nếu mọi số hạng của dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trưóc kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó ta viết lim un 0 viết tắt là lim u 0 hoặc limu - 0 hoặc un- 0 Nhận xét Dãy số u có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số lu l có giới hạn 0 2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp Sử dụng định nghĩa người ta chứng minh được rằng a. lim 0 lim-J 0 lim-ị 0 n Vn Vn Nói rông hơn lim - 0 k là số nguyên dương cho trước Vn b Dãy không đổi un với u 0 có giói hạn 0. c. Nếu Iql 1 thì limq 0. Các bạn được sử dụng kết quả này khi làm bài mà không phải chứng minh. Thí dụ 1. a. lim lim _ 0 3n 2 b. lim -5 n Định lý Cho hai dãy sô un và vn . Nếu lu vn lỉmvn 0 thì lirnu 0. . . _ _. sin 2n 3 _ Thí dụ 2. Chứng minh lim--------- 0. Lời giải 0. Theo định lý trên ta có đpcm. 153 2. DÃY CÓ GỈỞI HẠN 1. Định nghĩa dãy số giới hạn Xét dãy số un với un 9 -Lr u - 9 . yỊn 7n Ta có lim u - 9 lim-4 0 Vn Ta nói rằng dãy số đã cho có giới hạn là 9. Một cách tổng quát ta có Định nghĩa Ta nói răng dây số un có giới hạn Ịà số thực L nếu lim un - L 0 Khi đó ta viết lim un L viết tắt là lim un L hoặc lirnu L hoặc u L. I 00 Thí dụ 3. Chứng minh - 1 sinrcn 4Vn a. lim--- - 3 b. lim------77 ---- 4 Z V n c. lim un c với un c c là hằng số . Lời giải _ -Zi 3-2 -l n lỴ - l n n a. Ta có lim ------7--------3 lim - 7 0 lim------------- 0 V 2n I 2 2n fsin7tn 4Vñ 4 sinnn b. Ta có lim ------77 ------4 lim - 7 . Võ J Ví Ta có sin 7tn 1 s ỉ sinTtn 77 r và lim 77 0 lim -7 - Æ Æ Viĩ sinzn 4Vñ .1 sinnn 4 Vñ o lim ----77 ---4 0 o lim-----77 --- Vĩ Vn 4 đpcm c. Ta có lim un - c ỉin c - c limO o o lim u c đpcm . 2. Một số định lý Định lý l Giả sử lim u L. Khi đó a. limluj ILI và lim ỰŨ7 Vl . b. Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim ạ Ũ7 VẼ . Định lý 2 Giả sử lim un L lim vn M và c là hằng số. Khi đó a. các dãy số un vn un-vn
