Tài liệu tham khảo Lời giải đề nghị VMO | Lời giải đề nghị VMO 2010 Trần Nam Dũng Trường Đại học Khoa học tự nhiên - thành phố Hồ Chí Minh Bài 1. Giải hệ phương trình Ị x4 - y4 240 I x3 2y3 3 x2 4y2 4 x 8y Lời giải. Cách 1. Nhân phương trình thứ hai với 8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được x4 - 8x3 24x2 - 32x 16 y4 - 16y3 96y2 - 256y 256 hay x - 2 4 y - 4 4. Từ đây ta suy ra ngay x y 2 hoặc x 6 y. Trường hợp x y 2. Thay vào phương trình đầu ta được 8y3 24y2 - 32y 16 240 y3 - 3y2 4y 28 0 y 2 y2 - 5y 14 0. Từ đây ta tìm được y 2 và x 4. Trường hợp x 6 y. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 24y3 216y2 - 864y 1296 240 y3 9y2 36y 44 0 y - 2 y2 - 7y 22 0 suy ra y 2 và x 4. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x y 4 2 và x y 4 2 . Cách 2. Đặt y 2t thay vào phương trình và viết lại hệ dưới dạng Ị x4 16 16 t4 16 1 x3 - 3x2 4x 16 t3 - 3t2 4t 2 Chủ ý đây chỉ là đáp án tham khảo không phải là đáp án chính thức. 1 2 Trần Nam Dũng Nhân chéo hai phương trình này ta được x4 16 t3 3t2 4t t4 16 x3 3x2 4x . 3 Dễ thấy nếu x t là nghiệm của hệ thì xt 0 nên ta chia hai vế của phương trình trên cho x2t2 thì được fx2 12 ì t - 3 4 4 t2 126 Wt - 3 41. x2 t t2 t Từ đây nếu đặt u x và v t 4 thì ta có xt u2 8 v 3 v2 8 u 3 u2v v2u 3 u2 V2 8 u v 0 u v uv 3 u v 8 0. 4 Từ 1 ta suy ra rằng x và t cùng dấu. Do đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra u V hoặc cùng 4 hoặc cùng 4. Suy ra u 3 và v 3 luôn lớn hơn hay bằng 1 hoặc luôn nhỏ hơn hay bằng 7. Suy ra uv 3 u 3 8 u 3 v 3 1 0. Dấu bằng chỉ có thể xảy ra khi u V 4. Từ lý luận trên và từ 2 ta suy ra u V từ đó suy ra x t hoặc x 4. t Trường hợp x t. Thay vào phương trình 1 ta được t4 16 16 t4 16 vô nghiệm. Trường hợp x 4. Thay vào phương trình 1 ta được 256 16 16 t4 16 16 t4 16 t4 1 suy ra t 1. Từ đó ta được các nghiệm x y 4 2 và x y 4 2 . Nhận xét. Lời giải 1 khá ngắn gọn nhưng đó là một ý tưởng không dễ nghĩ ra. Nếu như đặt x 2u y 2v và đưa về hệ phương trình J u4 - V4 15 2 u3 - 2v3 3 u2 - 4v2 - 2 u - 8v thì có lẽ sẽ dễ nhìn thấy các hệ số nhị thức hơn. Dù sao thì
