Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. | 54 Chương 1 Khống gian vectơ định chuẩn tớc là g o liên tục đỂu trôn X Ấnh xạ Lipschitz Cho E I. F 11 F là hai E-kgvđc dE tương úng dF là khoảng cách liên kết với I. K tương ứng lị. Ị f . ĐỊnh nghĩa Cho Xe íp E X- F là một ánh xạ. 1 Cho k 6 R ta nói là ánh xạ k- Lipschitz khi và chỉ khi V xvx2 e kdgÌXị x y - 2 Ta nói rằng là ánh xạ Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại k G R sao cho là ánh xạ k- Lipschitz. Một ánh xạ X - X được gọi là ánh xạ co khi và chỉ khi tồn tại k e 0 1 sao cho là ánh xạ k- Lipschitz. Với mọi k thuộc R ta kỷ hiệu tập hợp các ánh xạ k. - Lipschitz từ X đối F là Lipt X F tftp hợp các ánh xạ Lipschitz từ Xđến F thì ký hiệu là Lip X F LipiXF u LiPjt X F . JÍ R geLipk A. XF Lippq eLip X F 3 L eLipr y G X cr g ofe Lip - X G . Chứng minh Với mọi Xp Xj thuốc X ta có 1 H g jCl - 5 2 f H V1 - Ơ2 HF JsU1 -S 2 1 F ịịxi -x2 2 u x - x x2 f A H -íMf - 2lí 3 h ơi - g -d Giới hạn tính liên tục 55 Nhận xét . 1 Nếu X 0 thì theo các tính chất í và 2 ttên đây Lip X F là một K-kgv. 2 Khi g X- K là những ánh xạ Lipschitz thì fg có thể không phải là một ánh xạ Lipschitz chẳng hạn x K B g R R. Mệnh để 2 1 Ánh xạ II. lị E - R là ánh xạ 1- Lipschitz. 2 Với mọi bộ phận khác rỗng A của Ê ánh xạ E R là ánh xạ I d x A 1- Lipschitz. 3 Cho net Ek Nk I k 5 n là những K-kgvđc V là chuẩn xác ft định trên E ị ị Ejt bent Jt l V x x e E v xỵ . xn Max jVfcfxfc . lzk n Với mọi k thuộc 1 . n ỉ pr E Eị ìà ánh xạ 1-Lipschitz. Chứng minh 1 Ta có V x y e E2 ỊxJ - II41 IIX - yII. 2 Cho x y e E2 Ta có V a A d x a d x y d y a từ đây bằng cách chuyển qua biên dưới khi a chạy khắp A ta được d x A á d x y dịy A và suy ra dịx A - d y A á d x ỳ . Áp dụng kết quả vừa thu được cho y x thay vì x y ta cũng có d y A - d x A á d y x và cuối cùng là I d x A - d y. A I á d x y . 3 Với mọi X X1 . xj và mọi y - 01 . xJ thuộc E và mọi k thuộc l . n tacó NXpr x - prt y - 4 í M t Nfci v - ISÍẮ Mệnh để 3 Mọi ánh xạ Lipschitz đều ltd. Chứng minh Giả thiết f X- F là ánh xạ k- Lipschitz và cho 0. Ký hiệu
