Lịch sử giải tích trải qua vài thời kỳ riêng biệt, chủ yếu chia thành ba giai đoạn cổ đại, trung đại và hiện đại. Từ thời cổ đại người ta đã đưa ra ý niệm về phép tính tích phân nhưng chưa phát triển thành một phương pháp có hệ thống. | 114 Chương 1 Không gian vectơ định chuẩn Đ nh lý 2 Cho . . là một không gian tiền-Hilbert n i1 ể ể là một họ độc lập tuyến tính ưong E. Tồn tại Vị . Vị e sao cho Vj . Vn đôi một trực giao Ví E n Vị Q Vi e Vect Vri . Vj Vect e1 . Ểi Do trong phép xây dựng trên đây Vị được phần tích theo eị V . nên ma trận chuyển từ eeị sang Vị . Vị là ma trận tam giác trên với các số hạng đường chéo bằng 1. Phép chiếu trực giao lén một không gian vectơ con hưu hạn chiều Cho . là một không gian tiền-Hilbert F là một kgvc hữu hạn chiều cùa E X e E. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tổn tại một và chỉ một phần tử y của F sao cho x - y F rổi sẽ khảo sát ánh xạ _r H y. Do F hữu hạn chiều nên F có ít nhất một cơ sở . trong đó n dim F . Theo thủ tục trực giao hóa Schmidt xem và bằng cách chuẩn hóa các vectơ thu được ta thấy là F có ít nhất một cơ sở trực chuẩn Cị n Cho y e F bất kỳ y - là dạng phân tích cùa y trong cơ sở trong Í 1 đó yl . K eIK . Ta có a - y F VH 1 . n J x - y 1 ft Không gian tiền-Hilbert 115 v 6 rt â X yifị 0 i l o Vk e Ị fk x -yt 0 o Vi e 1 . . n yt fktx . Ta tóm tắt kết quả khảo sát. Định lý Định lý về phép chiếu trực giao lên một kgvc hữu hạn chiều Cho E . là một không gian tiển-Hilbert F là một kgvc hữu hạn chiểu của E X e E. Tồn tại một và chỉ một phần tử y của F sao n cho x - y F đó là y t x . trong đó . là một k l cơ sở trực chuẩn bất kỳ của F. Phần tử y đó gọi là hình chiếu trực giao của X lên F. Mệnh để Cho . là một không gian tiền-Hilbert F là một kgvc hữu hạn chiều của E. Ta ký hiệu ánh xạ cho mỗi X thuộc E ứng với phần từ duy nhất cùaF thỏa mãn x - y F là pF E F Khi đó 1 pFỉà một phép chiếu của E tức là pF e và pFopF Pf 2 Im pp - F và Ker pF - 3 pF đối xứng tức là V x x e pXx x x Pp x 4 pF e C E và nếu F 0 thì Ị pf 1. 5 Ánh xạ F Hỉ có biên dưới đạt đến và chỉ đạt đến biên f H x- dưới đó tại p x . Ấnh xạ pFđứợc gọi là phép chiếu trục giao lên F. Chứng mình Ta sử dụng cấc ký hiệu của Định lý trên đây. 1 V2 e K V x x e E2 pp Ảx x i Ấx x ffc 1 1 n fk x k
