Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ môn số học . Trong Đại số Biến Số được dùng đại diện cho một số . Biến Số được biểu thị bằng ký tự trong mẩu tự {A - Z} . Thí dụ A có thể dùng để đại diện cho bất kỳ số 0 - 9 | Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hạp 4 Nếu E 4 được sắp thứ tự toàn phần thì E có nhiều nhất một phần tử cực đại đó cũng là phần tử lớn nhất của E. Thật vây nếu X là phần tử cực đại của E thì vì 5Í là thứ tự toàn phần trong E nên ta có Vít G A a xhoâç A a và như vậy fa e E ịa í X hoặc X a tức là Va e E a X. Vậy khái niệm phần tử cực đại chỉ có ích trong trường hợp 4 là thứ tự không toàn phần. Đ nh nghĩa 2 Cho E V là một tập hợp được sắp thứ tự A c E . 1 Nêu tập hợp Mạj A các chặn trên hoặc cân trên của A trong E có một phần tử bé nhất M thì Af được gọi là biên trên hoặc cận trên đúng của A trong E và được ký hiệu Sup  hoặc Sup  . 2 Nếu tập hợp các chặn dưới hoặc cận dưới của A trong E có một phần tử lón nhất m thì m được gọi là biên dưới hoặc cận dưới đúng của a trong E và được ký hiệu Infe A hoặc Inf 4 . Nếu A gồm hai phần tử X y hoặc một họ các phẩn tử Xj Ễ thì ta sẽ ký hiệu Sup x y ĩnf x y Sup Xị Inf Xị thay cho Sup Ä Inf A . iel iel NHẬN XÉT Cho V là một tập được sắp thứ tự A e iß e E Muốn cho M là biên trên nếu tồn tại của A trong E cần và đủ là JVae .4 a V M Vx E Va e A a x M x VÍ DỤ 1 E thông thường A ỊO 1Ị. Ta có Maj A 1 0ũ vây Sup A tồn tại và Sup A 1. Min  -co 0 vậy Inf A tồn tại và Inf A 0. Ta chú ý rằng theo ví dụ trên biên trên tương ứng biên dưới của A trong E nếu tồn tại có thể không thuộc 4. 2 E Q thông thường A x e 5 -K2 2J. Ta có Maj A x e Q 2 r e Q X2 2 tập này không có phần tử bé nhất tức là 5 2 Ế vậy A không có biên trỄn trong E. 3 E 3 F trong đó F là một tập hợp c là quan hệ bao hàm. Với mọi X T thuộc E1 ta có Supv X T XuT và Inf XK Xnr. 4 E H - 0 11 ì là tính chia hết. Với mọi x y thuộc E2 ta có xem Mênh đề 3 Sup x y X V y BCNN x y Inf x y X A y ƯCLN x y . Quan hệ 21 NI IẬN XÉT 1 Supf 0 là phán lừ bé nhất của ì nếu lổn lại lnff 0 lìi phần lử lớn nhất cita i nếu tồn tại . 2 Với mọi bộ phận khác rỗng A của i nếu luff T và Supft  tổn tại thì InfJÄ Supr 1 . Bài tập ỡ Cho . 2 3 4 5 . Ä là quan hệ thứ Lự xác dull trong bởi .
