Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,.,n ta có:(Công thức Leibniz) | ì Chương 10 Không gian vectơ Euclide Không gian vectơ Euclide Định nghĩa Không gian vectơ Euclide là mọi kgv hữu hạn chiều E được trang bị một tích vô hướng. Chàng hạn K 1 với tích vô hướng thông thường là một không gian vectơ Euclide. Thủ tục trực giao hóa Schmidt Giả sừ là một không gian vectơ Euclidc là tích vô hướng I diiní - E Ị. sao cho p n ít là một họ dộc lạp tuyến tính trong E. Ta sẽ xây dựng một họ trực giao những vcctư thuộc E lất cả đổu 0 sao cho Vk e Vect p. - Vect V .V i Đặt Vị et 0. Tìm V2 dưới dạng tz2 e2 ĩ. V trong đó cẩn tìm 2 e R . Ta có V V o Vp e2 Ằ v c2 11 v l 12 0. Vì V 0 tồn tại x2 thích hợp. Nếu ụ 0 thì e2 e IRiVị lEẫé mâu thuẫn với sự kiện é l e2 độc lập luyến lính. Vậy V o. Cuối cùng hiển nhiên ràng Vecựe VcctíV v2 . Giả sử đã xây dựng được với k p - I sao cho V v trực giao và các vectơ thành phần dều 0. Vect Vect V . VẠ Ta tìm v 1 dưới dạng vk l flẢ l k i l trong dó cần tìm Ạt I 1 e K - Ta có Vj e vt I lV VjỄ Vj ek l YẰk uvi 1 A ì Vj e 1 . k J Vj ek -i - Vi 0 1 I J v e 1 . í Vy- Q I II V ll2 o Không gian vectơ Euclide 349 Vì V .vt dổư 0 hộ phương trình trên có nghiệm duy nhỉít y e . Ắ J _1Ĩ Xét VCC1Ơ V t dã dược xác dịnh như trOn. Do cách xây dưng V .vt là một họ trực giao. Nếu ví - 0 thì 7 1 -A i e Vecl V .Iỵ. - Vecl í- . 7 i mâu thuẫn với sự kiên ụ- .Q l dộc lập tuyên lính. Như vậy V t 0. Vì V í Vccl f i và Vcct - Vccl íj .q nén ta có V i 1 e Vect t . 7 i và vì vậy VecttV . V j i c Vect e . Tương tự eí l e Vecl V .v vt và Vect e .et Vect V r. VJ nên Vect í . 7 J c Vect V .vt l . Cuối cùng Vect e . eẢ i Vect . Ta tóm tắt việc khảo sát trên Định lý Thíi tục trực giao hóa Schmidt Với mọi họ độc lập tuyến lính e . e J của một không gian vcctơ Euclidc tồn tại một họ V trong E sao cho J v trực giao 1 VÁ- e I I Vecl V l Veclte . 7 . NHẬN XÉT 1 Trong dịnh lý trCn họ V .Vp sẽ là duy nhốt nêìi la thêm diều kiên VA- e 11p I v . et - 1. 2 Vì trong cách xiìv dựng V j dược .
