Người ta còn xem định thức như là hàm xác định trên lên các bộ n vector trong không gian \Bbb{R}^n, toạ độ của n véc tơ này tạo thành n cột (hoặc n dòng) của một ma trận vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể được dùng để định nghĩa khái niệm hướng của các cơ sở trong không gian Euclide. | Chỉ dẫn và trả lời 409 3 Vì lã một quan hệ tương dương trong í7 nôn íj Rh là một pliíin hoạch của vậy Card 7 Card f Ilơn nữa tất cả các lớp modulo có cùng một bản số theo 2 b vậy. e Gì Rh Card f - Card ẽ Card . Như thi ta dược Card G CardlG A Card 7 dàng thức này thường dược gọi là phương trình lớp . Đặc biệt Card H lcard G . 4 a 10 không chia hết 24. o Trả lài Không b Vì H n K là một nhóm con của II và cùa K. nẻn theo định Lý Lagrange. Card ri Kì chia hốt Cardiff và chia hết Card K . Vì ÍCljN Card 7 . Card K 1. nên suy ra c ard n K - 1 vậy H n K I . c I 1 Theo c ỉ a ẽ là một nhóm con cùa G. j t vß Jxyx TëXi X 1 e ẠVX 1 e ë . 2 Theo c 2 a . Ki là một quan hệ tương dương trong 7 tương thích trĩíĩ với luật củaG. và ẽ . Giã sử j x y e Ta có a7 ha ẹ - x x e v tx x ly xy x y .v v c j-vy. điÊu náy chúng minh ràng K tương thích phải vời luật của G. ĩvìiíbì xé Một nhóm con của G là chuẩn lac trong G khi và chỉ khi e G. xlỉ ỉix 3 a Hiển nhiên b o Trà lài 7 Ị ff f T ỉ xcm Ví dụ - T o r 2 0 rl3 r íỉ 4 a Theo bãi tập bj là một nhóm - con của G. Giả sử X e f lựrỵ y e 7. Ta có f y fix ơíy e H V fix e và l . Như vây yxy e - Z và cuối cùng ỉ. Đạc biẹt Kcr 1 G. b o Trả lài G 2 G J. H 2 Ị 3 xác định bởi Id Id và r12 r 2 xem Ví dụ và 3 b trSn dây . c Theo bài tập a fitf là một nhóm - con của G . Giả sử x e fífỉ ỵ E G . Ttìti tại X e sao cho x -fix và vì là toàn ánh nsn tổn tại V e G sao fiy . T a có y xV f y fix f yiỵ f xyy efilf vì xe và 7 1 G. t. uß i cùng filf G . ĩ a e E C 7 hiển nhiên. Giả sử íi. h e 7 . Ta có Vx g 7 ịab x affix atxfi - ax h - xa h xfab từ dö ab e . Giả sử a e d ỚT . Ta có Vx e G ti x u - al ax al xa từ đó a e í I . Giả sửíỉ e t 7 y e G. Ta có yạv 1 yy1 íỉ e C G . ữ Chương 2 cấu trúc đại sô b Giá sử là một nhóm con của G sao cho Cardt n. 1 Giá sử A e G. Nếu A e ỉl thì xll - ll - llx. Nếu X H thì ịxlf ìí 0 và Hx r H 0 từ do. vì CardtA - Cardơ Al --Card H. xH - Hx. Như vây ta tã chứng minh Va e tỉ xll
