Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm sốmột hay nhiều biến và các biến số đều là số phức(các ánh xạ giữa C^n và C^m). khoảng hơn 50 năm trước, dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứu các ánh xạ giữa các không gian vector topo phức vô hạn chiều, đặc biệt là các không gian định chuẩn. . | Tích phân và đạo hàm 207 Mệnh để 3 Hệ thức Chasles Giả sử a b c e R và là một ánh xạ có giá tộ phức liên tục tùng khúc trên một đoạn chứa a b c. Khi đó ta có a Chứng minh Tích phân và đạo hàm Trong cả náy 1 chỉ một khoảng cùa R không rỗng vá không thu về một điểm Các hàm được xét đến có giá tộ trong K K SS R hay Ç . Hàm tích phân của cận trên Cho x0 e Ị vàf Ị K liên tục tùng khúc trên nghĩa là liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bao hàm trong ỉ. Với mỗi X thuộc thu hẹp của trên đoạn có các mút x0 và X liên tục từng khúc do đó ta có thể xét ánh xạ F ỉ-x K định nghĩa bởi Vx e ỉ F x . Jx0 r X Như vậy I được coi như một hàm của X là cân phía trên ta cung gọi là Jx0 cận trên của tích phân. 208 Chương 6 Tích phãn Mệnh để 1 F ỉ - K liên tục trên ỉ. Chứng minh Ta sẽ chứng minh ràng với mọi doạn ơ b bao hàm ữong ỉ F là ánh xạ Lipshcita. Cho a b e ỉ2 sao cho a b. Vì liên tục từng khúc trên ứ í nên bị chạn trên fa 6 dạt M Sup x . Với mọi x x e a ố 2 sao chữ chảng hạn x x xe a b ta có . ị Af x -x . Điẻu này chúng tỏ rằng f là M-Lipschitz trên a b vậy liên tục trên a ỊjJ. Cuối cùng vì f liên tục trên mọi doạn a b bao hàm trong ỉ nên rõ ràng là F liên tục trẽn I. Mệnh để 2 F ĩ - K thuộc lớp c1 từng khúc. F khả vi tại mọi điểm thuộc Ị tại đó liên tục và F JC f 1 . Chứng minh 1 Cho Xỵ e ỉ sao cho liỀn tục tại Xj. Với mọi X thuộc - xị ta có Cho 0 cố dịnh. Vì liên tục tại Xj nên tồn tại TỊ 0 sao cho Ví G Ịr-X Ế t7 0 - x1 ầ . Cho X e Ị - Xj J sao cho Ịx-xịỊ í 77. Khi đó ta có f x - Xj . Tích phân và đạo hàm 209 Aíhư vậy ta đã chúng minh ràng 0 3i 0 Vx e ỉ - c Ịx-Xj t7 WW fwse F x -F Xj f. . nghĩa là ỉ------------ f xỵ X - Xị r- JĨI Điểu này chứng tỏ F khả vi tại X và F Xị f Xỵ . 2 Cho b E R2 sao cho a á b và a b cz ỉ. Vì liên tục từng khúc trên a fr nên tổn tại 72 E N và íỉg . an E R n 1 sao cho a Oq . an b Với mỗi ie thu hẹp của ưên at aỊ 1 có thể thác triển liên tục lén ữ ai 1 . Kết quả trên chứng tỏ rằng F khả vi trên a í - ữ0 ữn và F Ị a J có thể thác .
