Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm. Tuy nhiên trên mặt phẳng phức, nếu một hàm f(z) khả vi trong một lân cận thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó. | 294 Chương 4 Hàm một biến thực lấy giá trị thực hoặc phức vạy f ý - f x cùng dấu nghiêm ngạt nhu f b - ư CUỐI cùng là f đơn diệu nghiêm ngặt. a Giẫsửtổntại f phùhợp f giảm nghiêm ngặt là đơn ánh và do á6f cũng là đơn ánh. Theo bài tập ta suy ra f dơn diẹu nghiêm ngặt nhưng f f lại tăng nghiêm ngặt mâu thuẫn. b Áp dụng aị với p x - X. 0 Trả lời Không. Ánh xạ ẹ a ỉ - R liên tục tren đoạn a b và Vxe đ p x 1 X - i-TV Theo Mênh đẻ tổn tại ịi e 1 oo sao cho Vx e a 5 p x ụ. Ta lấy Ấ ịt- 1. Tỗn tại A e R- vàB e R sao cho ÍVxe -co Ị x o Vxe B o x è f òy Mạt khác f liên tục trên doạn A B nên tồn tại x0 e A B sao cho Vxe A BJ fa0 . Đặc biệt A í 0 í B ta CỔ O x0 . Cuối cùng Vx e R x x0 . Lập luân phàn chứng ta giả sừ mọi phần tủ của 0 1 đều có đúng 2 điểm nguồn. Trường hợp rieng tồn tại đ h c. đ e 0 l 4 fa b và 5 0 c d và f è f d -L NỂU a b c d ta đặt a -ỳ a 5 2 k jU . Ta có k 0 và fc cổ ít nhất 3 diểm nguồn thuộc ỉa a a Ể ĩ í c . Lập luận tương tự trong các trường hợp khác. ỉị Giàsử g R - R __ Jx 1 nẾu xeQ lx-1 nốu xeR-Q hỗy chúng minh f o g g o f IdR chú ý X e Q x leQ x-leQ suy ra f là song ánh . 2 Cho x0 e R. sủ dựng tính trù mật cùa Q và R - Q trong R dể chứng minh U hoặc W xo - xeQ xểR-Q V x y e -l 1 X R y f x yx2 x-y 0 . Chĩ dẫn và trâ lời 295 Tù X e -l 1 suy ra rằng nếu y 0 thì X - -l ỉ 4 2y 0 Trả lài y e R f 1 y -------------------2y- ĩ -Ji 4y2 a f tâng nghiêm ngặt liên tục lim f -00 lim f oo . b Cho X e R. Nếu fix - _1 x thì f fix - x nếu X x thì x o x X mau thuẫn. Cũng tương tự nỂu X fix . Vậy x X. x x . r-1. . W- L x x Đảo lại fix X fix X X5 1 X 1. ộ Trả lời 1 J. a 1 ịị ị x - ị x Ị Ä x - x Ị 2 v gxy -uf gx á H ư - x g x -g x j g g Ịg x Ịg x c2 4 Xem . và l 2 ôtrtn. b Cho 0. Tồn tại í 0 sao cho V y y e r2 ịy-y íj g y - g y 0 Sau đổ tổn tại a 0 sao cho V x .x e X2 Ịx -xj a z I f x - x á 7 . Kết quả là ta có tf x x e X2. ịx -x ía Ị g Xx1 - g 0 X ă 1- 7 Giả sử f phù hợp. Cho X x e R2 sao .
