Tham khảo tài liệu 'giáo trình toán học tập 4 p7', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Đại cương 177 X và y đều thuộc lớp c1 trên .Vreí x f y 0 èo Ví í MÓ - 1 0 MO. XO . Ta gọi là điểm cân bảng hoặc điểm tới hạn của một hệ thống vi phân ôtônôm S fx - x y y gMỹ mọi điểm x0 y0 cùa u sao cho 0 M t ơo O- Trường hợp riêng thường xảy ra khi E R2 sẽ có định nghĩa có thể định nghĩa một cách tổng quát hơn khái niệm về nghiệm trèn ỉ cúa phương trình vi phàn ôtồnôm cấp n x x X x n h . Trường hợp riêng ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3 Cho ư một bộ phân mở của R2 f u R thuộc lớp c một khoảng trên R x R là một ánh xạ. Ta nói X là nghiệm trên ỉ của phương trình vl phân ôtônôm cấp 2 E x x x X thuộc lóp c2 trân ỉ nếu và chí nếu Ví Ị MOMíO e u Vtei x 0 M0 X í . Bằng cách ký hiệu y x thi rõ ràng ràng X là nghiêm của E x x x nếu và chỉ nếu x y tà nghiệm cùa S ly x y . ĐìỂu này cho phép đưa một phương trinh vi phân ôtõnốm cấp 2 vé một hệ vi phan ôtổnũm cấp t. 178 Chương 7 Phương trình vi phân Định lý Cauchy - Lipschitz Lý thuyết Cho u là một bô phận mờ của fix E f u là một ánh xạ liên tục. Ta xét phương trình cấp 1 đã giải ra y E y -f r y trong đó ẩn hàm được ký hiệu là y. Ta nhắc lại nếu ỉ là một khoảng của R thì ta gọi là nghiêm của E trên mọi ánh xạ y l - khả ví trên sao cho é L yíự ỊjFy í Nhận xét Nếu y là một nghiêm của E trên thì do phép hợp hàm nên y liôn tục trên y thuộc lớp c1 trên . 2 ị Nếu thuộc iớpC titeNUị aoỊ trên u và nếu y là một nghiệm của E trẽn thì y thuộc lớp CẮ i trên ta có điêu này do lập luận bằng quy nạp theo k. Xét tập các cặp y trong đó là một khoảng cùa R và y là một nghiệm của E trên ỉ. Với fQ y0 e xét lập fũ các cặp phđn tử y cửa sao cho f0 e ỉ và yựo y0. Việc giải PTVP E là việc xác định 8 vì vây chúng ta sẽ nghiên cứu 7O1_VO vổi mổi J y0 của u. 1 Khảo sát sơ cấp vé 8 Quan hệ dưục dịnh nghĩa trqng 8 bời ị y 2 y2 o 1 j 2 I trong đó l l J2 1 y2 1 1 là thu hẹp của y2 trên là một quan hệ thứ tự không toàn phẩn tiên nghiệm . Rõ ràng nếu v e 8 và khoảng Ị sao cho J c thì ự yỊ và J ylj S y . Cho y. y2 hai .
